高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学业分层测评 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学试题VIP专享VIP免费

3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.四人赛跑，其跑过的路程f(x)与时间x的函数关系分别如下四个选项所示，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系为()A．f1(x)＝xB．f2(x)＝xC．f3(x)＝log2(x＋1)D．f4(x)＝log8(x＋1)【解析】A、C、D中函数增长特点是越来越慢，B中一次函数型增长特点是正比例增长，故选B.【答案】B2.函数y1＝2x与y2＝x2，当x>0时，图像的交点个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】当x＝2或4时，y1＝y2，当x>4时，y1>y2，故交点个数是2.【答案】C3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图像大致为()【解析】由题意，设林区原来的蓄积量为a，则ax＝a(1＋10.4%)y，即1.104y＝x，则y＝log1.104x，故y＝f(x)的图像大致为D.【答案】D4.某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为()A．640B．1280C．2560D．5120【解析】由题意可得，当t＝0时，y＝10，当t＝1时，y＝10ek＝20，可得ek＝2.故10个细菌经过7小时培养，能达到的细菌个数为10e7k＝10×(ek)7＝1280.【答案】B5.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是()A．y＝0.2xB．y＝(x2＋2x)C．y＝D．y＝0.2＋log16x【解析】将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算，可知选C.【答案】C二、填空题6.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2000ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．【解析】当v＝12000时，2000×ln＝12000，∴ln＝6，∴＝e6－1.【答案】e6－17.池塘浮萍每天生长原来的一倍，15天刚好长满池塘，则________天长满半池塘.【导学号：04100068】【解析】设第一天生长a，则第二天有浮萍2a，第三天4a，…，第14天213a，第15天214a.因214a＝2×213a，∴14天长满半池塘．【答案】14三、解答题8.某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为(n＋1)元时，比礼品价值为n元(n∈N＋)时的销售量增加10%.(1)写出礼品价值为n元时，利润yn(元)与n的函数关系式；(2)请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润．【解】(1)设未赠礼品时的销售量为m，则当礼品价值为n元时，销售量为m(1＋10%)n.利润yn＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n＝(20－n)m×1.1n(0＜n＜20，n∈N＋)．(2)令yn＋1－yn≥0，即(19－n)m×1.1n＋1－(20－n)m×1.1n≥0，解得n≤9，所以y1＜y2＜y3＜…＜y9＝y10，令yn＋1－yn＋2≥0，即(19－n)m×1.1n＋1－(18－n)m×1.1n＋2≥0，解得n≥8，所以y9＝y10＞y11＞…＞y19.所以礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．9.某工厂利润数据如下表：月份123利润(万元)256现有两个函数模型刻画该厂的月利润y(万元)与月份x的函数关系：指数型函数y＝abx＋c和二次函数y＝ax2＋bx＋c，若4月份的利润为5.1万元，选哪个模型比较好？(其中ab≠0，且b≠1)【解】先把前3个月份的数据代入y＝abx＋c，得解得∴y＝－·x＋.把x＝4代入得y≈6.33.再把三组数据代入y＝ax2＋bx＋c，得解得∴y＝－x2＋6x－3.把x＝4代入得y＝5.0. |5.0－5.1|<|6.33－5.1|，∴选模型y＝－x2＋6x－3较好．[能力提升]1.如图364，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图像显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中正确的有()图364A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】图①不对，因为正方体的底面积是定值，故水面高度的增加是均匀的，即图像是直线型的．图②正确，因几何体下面窄上面宽，且相同的时间内注入的水量相同，所以下面的高度增加得快，上面增加得慢，即图像应越来越平缓．图③...