3.2.1第2课时对数的运算性质(建议用时:45分钟)[学业达标]一、填空题1.下列式子中成立的是(假定各式均有意义)________.(填序号)①logax·logay=loga(x+y);②(logax)n=nlogax;③=loga;④=logax-logay.【解析】根据对数的运算性质知,③正确.【答案】③2.设7a=8b=k,且+=1,则k=________.【解析】∵7a=k,∴a=log7k.∵8b=k,∴b=log8k.∴+=logk7+logk8=logk56=1,∴k=56.【答案】563.已知a2=(a>0),则loga=________.【解析】由a2=(a>0),得a=,所以log=log2=2.【答案】24.lgx1与lgx2是方程(lgx)2+(lg2+lg3)lgx+lg2·lg3=0的两根,则x1x2=________.【解析】由题意,lgx1,lgx2是关于lgx的一元二次方程(lgx)2+(lg2+lg3)lgx+lg2·lg3=0的两个根,则x1,x2是关于x的方程的两个根,由根与系数的关系,得lgx1+lgx2=-(lg2+lg3),即lg(x1x2)=lg,∴x1x2=.【答案】5.若lgx-lgy=a,则lg3-lg3=________.【解析】lgx-lgy=lg=a,lg3-lg3=lg-lg=lg3=3lg=3a.【答案】3a6.若lg2=a,lg3=b,则log512等于________.【解析】log512===.【答案】7.里氏震级M的计算公式为:M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为________级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.【解析】由M=lgA-lgA0知,M=lg1000-lg0.001=6,所以此次地震的级数为6级.设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2,则lg=lgA1-lgA2=(lgA1-lgA0)-(lgA2-lgA0)=9-5=4.所以=104=10000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍.【答案】6100008.已知函数f(x)=lg,若f(a)=b,则f(-a)=________.【解析】因为f(x)=lg,所以f(a)=lg=b,所以f(-a)=lg=lg-1=-b.【答案】-b二、解答题9.计算:(1)log535-2log5+log57-log51.8;(2);(3)(lg5)2+lg2·lg50.【解】(1)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2log55=2.(2)原式===.(3)原式=(lg5)2+lg2·(lg2+2lg5)=(lg5)2+2lg5·lg2+(lg2)2=(lg5+lg2)2=1.10.(1)已知10a=2,10b=3,求1002a-b;(2)设a=lg2,b=lg7,用a,b表示lg,lg.【解】(1)∵10a=2,∴lg2=a.又∵10b=3,∴lg3=b,(2)lg=lg23-lg7=3lg2-lg7=3a-b.lg=lg(2×52)-lg(72)=lg2+2lg5-2lg7=lg2+2(1-lg2)-2lg7=2-a-2b.[能力提升]1.化简:+log2=________.【解析】==2-log23.∴原式=2-log23+log23-1=2-2log23.【答案】2-2log232.设a表示的小数部分,则log2a(2a+1)的值是________.【解析】=,可得a=-1=.【答案】-13.若a,b是方程2(lgx)2-lgx4+1=0的两个实根,则lg(ab)·(logab+logba)的值为________.【解析】原方程可化为:2(lgx)2-4lgx+1=0.设lgx=t,即原方程为2t2-4t+1=0.所以t1+t2=2,t1·t2=.又因为a,b是方程2(lgx)2-lgx4+1=0的两个实根,则lga=t1,lgb=t2,即lga+lgb=2,lga·lgb=.lg(ab)·(logab+logba)=(lga+lgb)·=(lga+lgb)·=2×=12,即lg(ab)·(logab+logba)=12.【答案】124.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩余的质量约是原来的75%,估计约经过多少年,该物质的剩余量是原来的(结果保留1位有效数字)?(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)【解】假设经过x年,该物质的剩余量是原来的,根据题意得:0.75x=,∴x=log0.75=-=-≈4.故估计约经过4年,该物质的剩余量是原来的.