3.2.1对数自我小测1．如果lg2＝a，lg3＝b，则等于________．2．下列结论中，正确的序号是________．①lg2·lg3＝lg5；②lg23＝lg9；③；④若logaM＋N＝b，则M＋N＝ab(a＞0且a≠1)；⑤若log2M＋log3N＝log2N＋log3M，则M＝N.3．(1)已知loga2＝m，loga3＝n(a＞0且a≠1)则a2m－n＝________；(2)若a＞0，，则________；(3)若5lgx＝25，则x＝________.4．已知lg(log2x)＝0，，则logxy＝________.5．已知，logn8＝blogn56(m、n＞0且m≠1，n≠1)，则a＋b＝________，________.6．(1)已知11.2a＝1000,0.0112b＝1000，则________.(2)若2a＝5b＝10，则________.7．求下列各式的值：(1)2log525＋log264－2011logπ1；(2)log155·log1545＋(log153)2；(3)；(4)；(5)；(6)．8．2010年我国国民生产总值为a亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值是2010年的2倍？(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg1.08≈0.0334，精确到1年)参考答案1.解析：∵lg2＝a，lg3＝b，∴2．③⑤解析：由对数的运算性质知①②错；由对数恒等式知③正确；当loga(M＋N)＝b时，有M＋N＝ab，∴④错；由log2M＋log3N＝log2N＋log3M，得log2M－log2N＝log3M－log3N，即，上式只有当，即M＝N时成立，∴⑤正确．3．(1)(2)3(3)100解析：(1)∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3.∴(2)法一：∵a＞0，，∴∴，即，∴法二：∵a＞0，∴，∴∴(3)∵5lgx＝25＝52.∴lgx＝2，x＝102＝100.4．－3解析：∵lg(log2x)＝0，∴log2x＝1，∴x＝2，又∵，∴，∴，∴.∴.5．156解析：由换底公式得.，∴a＋b＝log567＋log568＝log5656＝1.∵log567＝a，∴.∴.6．(1)1(2)1解析：(1)法一：用指数解：由已知得.，两式相除得：，∴.法二：用对数解．由题意，得a×lg11.2＝3，b×lg0.0112＝3，∴.法三：综合法解．∵11.2a＝1000,0.0112b＝1000，∴a＝log11.21000，b＝log0.01121000.∴(2)法一：由2a＝5b＝10，得a＝log210，b＝log510，∴.法二：对已知条件的各边取常用对数，得alg2＝blg5＝1，∴，，∴.7．解：(1)原式＝2log552＋log226－2011×0＝4＋6－0＝10.(2)原式＝log155(1＋log153)＋(log153)2＝log155＋log153(log155＋log153)＝log155＋log153＝log1515＝1.[或原式＝(1－log153)(1＋log153)＋(log153)2＝1－(log153)2＋(log153)2＝1](3)原式＝(－2)×(－4)×(－2)＝－16.(4)设，则＝(1＋lg2)lg7＋(lg7－1)(－lg2)＝lg7＋lg2＝lg14.∴x＝14，即.(5)原式＝(1－lg2)(3＋3lg2)＋3lg22＋lg6－2－lg6＝3(1－lg2)(1＋lg2)＋3lg22－2＝3(1－lg22)＋3lg22－2＝3－2＝1.(6)原式.8．解：设经过x年后国民生产总值是2010年的2倍．经过1年，总产值为a(1＋8%)，经过2年，总产值为a(1＋8%)2，……经过x年，总产值为a(1＋8%)x.由题意得a(1＋8%)x＝2a，即1.08x＝2.方法一：两边取常用对数，得lg1.08x＝lg2，即．方法二：用换底公式．∵1.08x＝2，∴．答：约经过9年，国民生产总值是2010的两倍．百尺竿头解：(1)∵18b＝5，∴log185＝b，又∵log189＝a，∴log182＝1－log189＝1－a.∴.2)∵loga8＋log2a＝4，∴3loga2＋log2a＝4，∴，∴(log2a－1)(log2a－3)＝0，即log2a＝1或log2a＝3，∴a＝2或a＝8.①当a＝2时，f(x)＝x2＋3是偶函数；当a＝8时，f(x)＝x8＋3也是偶函数．∴f(x)是偶函数．②当a＝2时，原式；当a＝8时，原式.③∵g(x)＝2x或g(x)＝8x，且2与8都大于1，∴g(x)＝ax在R上是单调增函数．
