4.2.3直线与圆的方程的应用A级基础巩固一、选择题1．一辆卡车宽1.6m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过(B)A．1.4mB．3.5mC．3.6mD．2.0m[解析]圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，所以AB＝0.8，所以弦心距OB＝≈3.5(m)．2．已知实数x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是(A)A．30－10B．5－C．5D．25[解析]为圆上一点到原点的距离．圆心到原点的距离d＝，半径为5，所以最小值为(5－)2＝30－10.3．方程y＝－对应的曲线是(A)[解析]由方程y＝－得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝4在x轴上和以下的部分．4．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的图形面积是(D)A．B．C．D．π[解析]数形结合，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的.5．方程＝x＋k有唯一解，则实数k的范围是(D)A．k＝－B．k∈(－，)C．k∈[－1,1)D．k＝或－1≤k<1[解析]由题意知，直线y＝x＋k与半圆x2＋y2＝1(y≥0)只有一个交点．结合图形易得－1≤k<1或k＝.6．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线PA、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A、B两点，则四边形PAOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于(C)A．24B．16C．8D．4[解析] 四边形PAOB的面积S＝2×|PA|×|OA|＝2＝2，∴当直线OP垂直直线2x＋y＋10＝0时，其面积S最小．二、填空题7．已知实数x、y满足x2＋y2＝1，则的取值范围为[，＋∞).[解析]如右图所示，设P(x，y)是圆x2＋y2＝1上的点，则表示过P(x，y)和Q(－1，－2)两点的直线PQ的斜率，过点Q作圆的两条切线QA，QB，由图可知QB⊥x轴，kQB不存在，且kQP≥kQA．设切线QA的斜率为k，则它的方程为y＋2＝k(x＋1)，由圆心到QA的距离为1，得＝1，解得k＝.所以的取值范围是[，＋∞)．8．已知M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是(－3,3].[解析]数形结合法，注意y＝，y≠0等价于x2＋y2＝9(y＞0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝9在x轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b≤3时，直线y＝x＋b与半圆x2＋y2＝9(y＞0)有公共点．三、解答题9.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8km到达公路的另一点C．现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．[解析]以O为坐标原点，过OB、OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8,0)、C(0,8)，所以直线BC的方程为＋＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE为最短距离，此时DE的最小值为－1＝(4－1)km.B级素养提升一、选择题1．(2019·葫芦岛高一检测)已知圆C的方程是x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值为(D)A．9B．14C．14－6D．14＋6[解析]圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝9，圆心为C(－2,1)，半径为3.|OC|＝，圆上一点(x，y)到原点的距离的最大值为3＋，x2＋y2表示圆上的一点(x，y)到原点的距离的平方，最大值为(3＋)2＝14＋6.2．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l1：ax＋3y＋6＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋6＝0与圆C：x2＋y2＋2x＝b2－1(b>0)的位置关系是“平行相交”，则实数b的取值范围为(D)A．(，)B．(0，)C．(0，)D．(，)∪(，＋∞)[解析]圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝b2.由两直线平行，可得a(a＋1)－6＝0，解得a＝2或a＝－3.当a＝2时，直线l1与l2重合，舍去；当a＝－3时，l1：x－y－2＝0，l2：x－y＋3＝0.由l1与圆C相切，得b＝＝，由l2与圆C相切，得b＝＝.当l1、l2与圆C都外离时，b<.所以，当l1、l2与圆C“平行相交”时，b满足，故实数b的取值范围是(，)∪(，＋∞)．3．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(B)A．10B．20C．30D．40[解析]圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆...
