高中数学 第3章 指数函数和对数函数 3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较课后篇巩固提升（含解析）北师大版必修1-北师大版高一必修1数学试题VIP专享VIP免费

§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较课后篇巩固提升1.设a=(35)25,b=(25)35,c=(25)25,则a,b,c的大小关系是()A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a解析:∵y=x25在(0,+∞)上是增加的,∴a>c.∵y=(25)x(x∈R)为减函数,∴c>b.∴a>c>b.答案:A2.方程2x=x2的实根的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:在同一坐标系中分别画出函数y=2x与y=x2的图像(图略),由图像可知两函数图像在(-∞,0)上有且仅有一个交点,在(0,+∞)上,两函数图像有2个交点(2,4)和(4,16),故原方程共有3个实根.答案:C3.如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图,那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好()A.指数函数:y=2tB.对数函数:y=log2tC.幂函数:y=t3D.二次函数:y=2t2解析:由图可知函数在第一象限内是一个增函数,并且增长速度较快,且图像过点(2,4),(4,16),因此利用指数函数模型拟合较好.答案:A4.已知函数f(x)=5x,g(x)=2x,当x∈R时,有()A.f(x)>g(x)B.g(x)>f(x)C.f(x)=g(x)D.f(x),g(x)与x的取值有关解析:在同一直角坐标系中画出函数f(x)=5x,g(x)=2x的图像,如图所示,由于函数f(x)=5x的图像在函数g(x)=2x的图像的上方,则f(x)>g(x).答案:A5.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷,0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是()A.y=0.2xB.y=110(x2+2x)C.y=2x10D.y=0.2+log16x解析:当x=3时,否定A;当x=1时,否定B;当x=2时,否定D.答案:C6.当0”“=”或“<”).解析:由这两个函数的图像可知,指数函数增长的快些,所以Δy1<Δy2.答案:<8.导学号85104077当12log2a>-2a,即y>x>z.答案:y>x>z9.(信息题)在直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫格点.若函数y=f(x)的图像恰好经过k个格点,则称函数y=f(x)为k阶格点函数,则下列函数中为一阶格点函数的序号是.①y=x2;②y=x-1;③y=ex-1;④y=log2x.解析:显然①④都有无数个格点;②有两个格点(1,1),(-1,-1);而③y=ex-1除了(0,0)外,其余点的坐标都与e有关,所以不是整点,故③符合.答案:③10.已知一个驾驶员喝了少量酒后,血液中酒精含量将迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒以后,血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少,为了保障交通安全,某地交通规则规定,驾驶员血液中的酒精含量不得大于0.08mg/mL.问若喝了少量酒的驾驶员至少过几个小时后才能驾驶?解:设喝酒x小时后才能驾驶,在x小时后,血液中的酒精含量为0.3×(1-50%)x=0.3×0.5x(mg/mL).依题意得0.3×0.5x≤0.08,∴0.5x≤0.080.3=415,∴x≥lg415lg0.5=lg4-lg15lg1-lg2≈2(小时),即大约2小时后,驾驶员才能驾车.11.导学号85104078有时可用函数f(x)={0.1+15lnaa-x,x≤6,x-4.4x-4,x>6描述学习次数对某学科知识的掌握程度,其中x(x∈N+)表示对某学科知识的学习次数,f(x)表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关.(1)证明:当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降;(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121],(121,127],(127,133].当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科.(1)证明:当x≥7时,f(x+1)-f(x)=(x+1)-4.4(x+1)-4−x-4.4x-4=0.4(x-3)(x-4).而当x≥7时,函数y=(x-3)(x-4)是增加的,且(x-3)(x-4)>0.故f(x+1)-f(x)是减少的.所以当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降.(2)解:由题意,可知0.1+15lnaa-6=0.85,整理得aa-6=e0.05,解得a=e0.05e0.05-1·6≈20.50×6=123.0,123.0∈(121,127].由此可知,该学科是乙学科.