高中数学第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数自主训练苏教版必修4我夯基我达标1.化简sincos-cossin的值是…()A.B.C.-sinD.sin思路解析：先用诱导公式将角转化一下再逆用公式即得.原式=-sincos+cossin=sin(-)=sin=.答案：B2.tanx=2，则tan2(x-等于()A.B.C.D.思路解析：tan(2x)=-tan(-2x)=-cot2x=,而tan2x==∴原式=.答案：C3.设a=(sin56°-cos56°),b=cos50°cos128°-cos40°cos38°，c=(cos80°-2cos250°+1),则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>c落C.c>a>bD.a>c>b思路解析：把a,b,c化为同名三角函数值然后利用单调性可比较.a=sin56°cos56°=sin(56°-45°)=sin11°b=-cos50°sin38°-sin50°cos38°=-sin88°c=(2cos240°-2cos250°)=cos240°-sin240°=cos80°=sin10°∴a>c>b答案：D4.化简cos72°cos36°=______.思路解析：将72°化为2×36°即可解决原式=.答案：5.计算cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=_________.思路解析：逆用两角差的余弦公式可得，原式=cos(α-35°-25°-α)=cos(-60°)=.答案：6.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,<α+β<2π，<α-β<π，求cos2α,cos2β.思路解析：观察角的关系，可以发现2α=α+β+α-β，2β=(α+β)-(α-β).这是解决这一问题的关键.解：∵<α+β<2π，∴sin(α+β)=.∵<α-β<π，∴sin(α-β)=.∴cos2α=cos［(α+β)+(α-β)］=.cos2β=cos［(α+β)-(α-β)］==-1.7.计算：(tan10°-sin40°.思路解析：将tan10°化为再计算解：原式=()sin40°==sin40°=sin40°===1.8.在△ABC中，tanA+tanB+=tanAtanB且sinAcosA=，判断三角形的形状.思路解析：判断三角形的形状就是找出边或角的关系.解：由sinAcosA=,得sin2A=，即sin2A=，∴2A=60°或120°，∴A=30°或60°.又由tanA+tanB=(1-tanAtanB),得tan(A+B)=，∴A+B=120°.当A=30°时，B=90°，tanB无意义，∴A=60°,B=60°.即三角形为等边三角形.9.α,β都是锐角，且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β.思路解析：已知条件中的角是α,β,2α,2β，而要求的角是α,2β，所以可以先求α+2β的三角函数值.再求解.解：由题意,知3sin2α=1-2sin2β=cos2β,3sin2α=2sin2β,即sin2α=sin2β.∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=cosα·3sin2αsinαsin2α3sin2αcosα-3sin2αcosα=0.又∵0<α<,0<β<，∴0<α+2β<.∴α+2β=.我综合我发展10.的值等于()A.B.C.D.思路解析：将35拆成30°+5°，25拆成30°+5展开化简.原式==-cot30°=.答案：B11.(2005天津高考，文17)已知sin(α-)=，cos2α=，求sinα及tan(α+).思路解析：此题可由cos2α直接求出sinα，但要注意sinα的符号；或由sin(α-)展开求sinα-cosα，再与cos2α联立求sinα.解：由sin(α-)=,得(sinα-cosα)=，即sinα-cosα=.①又由cos2α=,得cos2α-sin2α=，即(cosα+sinα)(cosα-sinα)=，∴cosα+sinα=.②由①②得sinα=，cosα=.∴tanα=.tan(α+)=.12.设平面上有两向量a=(cosα,sinα)(0°≤α<360°)，b=(-,).(1)求证：两向量a+b与a-b垂直；(2)求当ka+b与a-kb(k≠0)的模相等时α的值.思路解析：(1)可据a·b=0a⊥b证明；(2)可由条件及据|a|=|b|a2=b2求出α的某种三角函数值.(1)证明：(a+b)·（a-b）=|a|2-|b|2=cos2α+sin2α-［(-)2+()2］=0,∴a+b⊥a-b.(2)解：由题意知(ka+b)2=(a-kb)2,整理得(k2-1)(|a|2-|b|2)+4ka·b=0.∵|a|=|b|,∴a·b=0，即-cosα+sinα=0.∴sin(α-30°)=0.∴α-30°=k·180°.又∵0°≤α＜360°,∴α=30°或210°.14.如图3-1-2，工人师傅要把宽是4cm和8cm的钢板焊接成60°角，下料时x应满足什么条件？图3-1-2思路解析：可寻找关于x的三角函数的某种关系，寻求x满足的条件.解：由图可知∠CBD=60°，则∠ABD=60°-x.在△ABC中，sinx=，①在△ABD中，sin(60°-x)=.②由①②得=2，即sin(60°-x)=2sinx，cosx-sinx=2sinx.∴sinx=cosx，∴tanx=.∴当x满足tanx=时，符合要求.
