高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的三角函数知识导航 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题VIP免费

3.1两角和与差的三角函数知识梳理一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式.二、关于asinx+bcosx形式的化简教材上仅以一个例题的方式给出了这种变形，要求我们对此类变形要熟练地化成Asin(ωx+φ)或Acoss(ωx+φ)的形式，理解此种变形的方法与依据.它的实质是逆用了两角和与差的正余弦公式将数值看成了特殊角的三角函数值得来的.在三角函数的化简、求周期、最值、单调区间等方面起着重要的作用.知识导学要学好本节内容，可先复习已学过的其它知识，充分利用单位圆，分析其中有关几何元素(角的终边及其夹角)的关系，为向量方法的运用做好准备.有意识的地联想向量知识：向量的数量积是解决距离与夹角问题的工具，在两角差的余弦公式的推导中应如何能够体现它的作用？探索过程的安排，应当先把握整体，然后逐步追求细节，在补充完善细节的过程中，需要运用分类讨论思想，突破两角差的余弦公式的推导这一难点后，其他所有公式都可以通过自己的独立探索而得出.疑难突破1.对于两角和与差的公式的异同要进行对比与分析，应如何便于理解记忆和应用？剖析：(1)明确角、函数名和排列顺序以及公式中每一项的符号；(2)要牢记公式，并能熟练地进行左右互相转化；(3)和、差角公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成和、差角公式的特例.2.学习本节内容，要注意结合本节有关问题，掌握好哪几种基本的三角恒等变换方法？剖析：(1)代换这是一种常用的数学思想，特别是解三角题尤为突出，本部分主要代换是角的代换，常用的有:α=(α+β)-β=β-(β-α)=［(α+β)+(α-β)］=［(α+β)-(β-α)］2α=(α+β)+(α-β)=(α+β)-(β-α)4α=2·2α,α=2·等.这几种代换形式要灵活掌握，解题中经常用到.如α，β为锐角，cosα=，cos(α+β)=,则cosβ=________.若展开cos(α+β)进行运算，则繁琐难解，但若利用β=(α+β)-α代换，则解法简便，大大降低了解题难度.(2)公式的逆向、多向变换使用任何一个公式都要注意它的逆向、多向变换，这是灵活使用公式所必须的，特别是三角函数公式.如：计算sin20°cos50°-sin70°cos40°，能逆用两角差的正弦化为:sin(20°-50°)=sin(-30°)=-计算tan30°=.以下几种变换要熟练掌握:tanα±tanβ=tan(α±β)(1tanαtanβ)1tanαtanβ=cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2αcos2α=,sin2α=(3)引入辅助角的变换对于形如asinα+bcosα(a,b不同时为0)的式子引入辅助角变为Asin(α+φ)的形式，可进行三角函数的化简，求周期最值等.要熟记以下常用变换sinα+cosα=sin(α+),sinα-cosα=sin(α-)sinα+cosα=2sin(α+),sinα-cosα=2sin(α-)