【成才之路】2015-2016学年高中数学第3章3二倍角的三角函数课时作业北师大版必修4一、选择题1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ的值为()A．－B．－C．D．[答案]B[解析]由题意知tanθ＝2，且θ为第一或第三象限角，故cos2θ＝＝＝＝－.2．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是()A．B．C．－D．－[答案]B[解析]设等腰三角形的底角为α，则cosα＝，∴sinα＝，设顶角为β，则sinβ＝sin(180°－2α)＝sin2α＝2sinαcosα＝2××＝.3．设α∈(π，2π)，则等于()A．sinB．cosC．－sinD．－cos[答案]D[解析] α∈(π，2π)，则∈(，π)，∴＝＝＝－cos.4．若tanθ＋＝4，则sin2θ＝()A．B．C．D．[答案]D[解析] tanθ＋＝4，∴＋＝4.∴＝4，即＝4.∴sin2θ＝.5．若θ∈[，]，sin2θ＝，则sinθ＝()A．B．C．D．[答案]D[解析]本题考查了三角的恒等变形以及倍半角公式．由θ∈[，]可得2θ∈[，π]，cos2θ＝－＝－，sinθ＝＝.16．函数y＝2cos2－1是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数[答案]A[解析]考查倍角公式和三角函数的性质．因为y＝2cos2－1＝cos＝sin2x为奇函数，T＝＝π，所以选A．二、填空题7．若sin＝，则cos2θ＝______.[答案]－[解析]本题主要考查诱导公式及二倍角公式的灵活运用． sin＝cosθ＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－.8．若cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为________．[答案][解析]因为sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θ·cos2θ＝1－sin22θ，又因为cos2θ＝，所以sin22θ＝1－cos22θ＝1－＝，所以sin4θ＋cos4θ＝1－×＝1－＝.三、解答题9．已知sin(x＋)sin(－x)＝，x∈(，π)，求sin4x，cos4x，tan4x的值．[解析] sin(x＋)sin(－x)＝sin(＋x)cos[－(－x)]＝sin(x＋)cos(＋x)＝sin(2x＋)＝cos2x＝，∴cos2x＝. x∈(，π)，∴2x∈(π，2π)．∴sin2x＝－.∴sin4x＝2sin2xcos2x＝－.∴cos4x＝2cos22x－1＝2×－1＝－.∴tan4x＝＝.10．已知函数f(x)＝cos(＋x)cos(－x)，g(x)＝sin2x－.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．[解析](1)f(x)＝coscos＝＝cos2x－sin2x＝－＝cos2x－，f(x)的最小正周期为＝π.(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos2x－sin2x＝cos，当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，h(x)取得最大值.h(x)取得最大值时，对应的x的集合为{x|x＝kπ－，k∈Z}．2一、选择题1．已知cos(α－)＝，则sin2α的值为()A．B．－C．－D．[答案]C[解析]sin2α＝cos(－2α)＝cos[2(－α)]＝2cos2(－α)－1＝2cos2(α－)－1＝2×()2－1＝－.2．设5π<θ<6π，cos＝a，则sin的值等于()A．－B．－C．－D．－[答案]D[解析] 5π<θ<6π，∴<<，∴sin＝－＝－.二、填空题3．已知tan＝3，则＝________.[答案]3[解析]因为tan＝3，所以原式＝＝tan＝3.4．函数f(x)＝－2sin2x＋sin2x＋1，给出下列四个命题：①在区间上是减函数；②直线x＝是函数图像的一条对称轴；③函数f(x)的图像可由函数y＝sin2x的图像向左平移而得到；④若x∈，则f(x)的值域是[0，]．其中正确命题序号是________．[答案]①②[解析]f(x)＝－2sin2x＋sin2x＋1＝sin2x＋cos2x＝sin.f(x)在上是减函数，①正确．当x＝时，f(x)取最大值，故②正确，y＝sin2x向左平移个单位可得f(x)的图像，故③错．当x∈[0，]时，(2x＋)∈[，π]，则f(x)∈[－1，]，故④错．从而填①②.三、解答题5．已知cos(x－)＝，x∈(，)．(1)求sinx的值；(2)求sin(2x＋)的值．[解析](1)因为x∈(，)，所以x－∈(，)，于是sin(x－)＝＝，sinx＝sin[(x－)＋]＝sin(x－)cos＋cos(x－)sin3＝×＋×＝.(2)因为x∈(，)，故cosx＝－＝－＝－.sin2x＝2sinxcosx＝－，cos2x＝2cos2x－1＝－，所以sin(2x＋)＝sin2xcos＋cos2xsin＝－.6．已知≤α<π，且cos(α＋)＝，求cos2α及sin2α的值．[解析] ≤α<，∴≤α＋<，又 cos(α＋)＝>0，∴<α＋<，∴sin(α＋)＝－＝－. sin(α＋)＝(sinα＋cosα)，cos(α＋)＝(cosα－sinα)，∴sinα＋cosα＝－，cosα－si...
