第二课时从力做的功到向量的数量积(二)课后拔高提能练一、选择题1．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角为()A．B．C．D．解析：选C设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ＝cosθ.又∵|a＋b|＝1，∴(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，∴1＋2cosθ＋1＝1，∴cosθ＝－，∴θ＝.2．在边长为的正三角形ABC中，设AB＝c，BC＝a，CA＝b，则a·b＋b·c＋c·a等于()A．－3B．0C．1D．2解析：选Aa·b＋b·c＋c·a＝b·(a＋c)＋c·a＝b·(－b)＋c·a＝－|b|2＋|c||a|cos120°＝－2＋××＝－3.3．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0解析：选B因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3，故选B．4．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则\a\vs4\al(AF)·\a\vs4\al(BC)的值为()A．－B．C．D．解析：选B设BA＝a，BC＝b，∴DE＝AC＝(b－a)，DF＝DE＝(b－a)，AF＝AD＋DF＝－a＋(b－a)＝－a＋b，∴AF·BC＝－a·b＋b2＝－＋＝，故选B．二、填空题5．向量a与b满足|a|＝2，|a＋b|＝3，|a－b|＝3，则|b|＝________.解析：由|a＋b|＝3，|a－b|＝3，得a·b＝0，∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝9.∴|b|2＝9－|a|2＝5，∴|b|＝.答案：6．在△ABC中，若2＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，则△ABC的形状是________．解析：∵2＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，得2－AB·AC＝BA·BC＋CA·CB，即AB·CB＝AB·CB＋CA·CB，∴CA·CB＝0，∴C＝，∴△ABC为直角三角形．答案：直角三角形7．(2017·山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．解析：依题意得＝cos60°＝，∴＝，∴λ＝.答案：三、解答题8．已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若对于两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，试求k的最小值．解：∵a⊥b，∴a·b＝0.又由已知得[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，∴－ka2＋t(t－3)b2＝0.∵|a|＝2，|b|＝1，∴－4k＋t(t－3)＝0，∴k＝t2－t＝2－.∴当t＝时，k取得最小值－.9．已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，且a、b的夹角为60°.(1)求a＋b的模；(2)若λa－6b与λa＋b互相垂直，求λ的值．解：(1)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋|b|2＝1＋2×1×2×cos60°＋4＝7.∴|a＋b|＝.(2)∵λa－6b与λa＋b互相垂直，∴(λa－6b)·(λa＋b)＝0，λ2a2－5λa·b－6b2＝0，λ2－5λ－24＝0，解得λ＝8或λ＝－3.
