第一课时从力做的功到向量的数量积(一)课后拔高提能练一、选择题1．在平面直角坐标系中，向量|AB|＝4，〈AB，x轴〉＝120°，则AB在x轴、y轴上的投影的数量分别是()A．2,2B．－2，－2C．－2,2D．2，－2解析：选C由题意得AB在x轴上的投影为4cos120°＝－2，在y轴上的投影为4sin120°＝2.2．已知|a|＝1，|b|＝6，a与b的夹角为，则a·(b－a)的值为()A．2B．4C．0D．－解析：选Aa·(b－a)＝a·b－a2＝1×6×cos－|a|2＝6×－1＝2.3．(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，BM＝2MA，CN＝2NA，则BC·OM的值为()A．－15B．－9C．－6D．0解析：选C如图所示，连接MN，由BM＝2MA，CN＝2NA可知点M、N分别为线段AB、AC上靠近点A的三等分点，则BC＝3MN＝3(ON－OM)，由题意可知，OM2＝12＝1，OM·ON＝1×2×cos120°＝－1，结合数量积的运算法则可得BC·OM＝3(ON－OM)·OM＝3ON·OM－3OM2＝－3－3＝－6.故选C．4．设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.以上命题中的真命题是()A．①②B．②③C．③④D．②④解析：选D①假．a·b＝λ∈R，c·a＝μ∈R.而a、b、c是非零向量且互不共线，故λc－μb≠0.②真．∵||a|－|b||<|a－b|.③假．∵[(b·c)a－(c·a)b]·c＝0，故应为垂直．④真．根据数量积结合律交换律可判定．故选D．二、填空题5．已知向量a＝(6,2)与b＝(－3，k)的夹角是钝角，则k的取值范围是________．解析：由题意知，a·b＝6×(－3)＋2k<0，k<9.若a与b反向，则k＝－1.∴k的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,9)．答案：(－∞，－1)∪(－1,9)．6．已知|a|＝3，|b|＝5，且向量a在向量b方向上的投影为，则a·b＝________.解析：a·b＝|a|·|b|·cosθ＝|a|cosθ·|b|＝×5＝12.答案：127．已知|a|＝6，a与b的夹角为，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|b|＝________.解析：由已知得：a2－a·b－6b2＝－72∴|a|2－|a|·|b|·cos－6|b|2＝－72，即2|b|2＋|b|－36＝0，∴|b|＝4.答案：4三、解答题8．在△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，且a·b＝b·c＝c·a，试判断△ABC的形状．解：在△ABC中，易知AB＋BC＋CA＝0，即a＋b＋c＝0，因此a＋c＝－b，a＋b＝－c.从而两式相减，可得b2＋2a·b－c2－2a·c＝c2－b2，则2b2＋2(a·b－a·c)＝2c2.因为a·b＝c·a＝a·c，所以2b2＝2c2，即|b|＝|c|.同理可得|a|＝|b|，故|AB|＝|BC|＝|CA|，即△ABC是等边三角形．9．已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.(1)当m为何值时，c与d垂直？(2)当m为何值时，c与d共线？解：(1)假设向量c与向量d垂直，得c·d＝0，而c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60，所以42m－87＝0，即m＝，即当m＝时，c与d垂直．(2)假设c与d共线，则存在实数λ，使得c＝λd，所以3a＋5b＝λ(ma－3b)，即3a＋5b＝λma－3λb.又a与b不共线，所以解得即当m＝－时，c与d共线．
