第三章3.13.1.1方程的根与函数的零点基础巩固一、选择题1．下列图象表示的函数中没有零点的是()[答案]A[解析]没有零点就是函数图象与x轴没有交点，故选A.2．方程log3x＋x＝3的解所在的区间为()A．(0,2)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[答案]C[解析]令f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32＋2－3＝log3＜0，f(3)＝log33＋3－3＝1＞0，所以方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)，故选C.3．函数f(x)＝lnx－的零点的个数是()A．0B．1C．2D．3[答案]C[解析]如答图所示，易知y＝lnx与y＝的图象有两个交点．4．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0则方程f(x)＝0在区间[a，b]上()A．至少有一实根B．至多有一实根C．没有实根D．必有唯一的实根[答案]D5．下列函数中，在[1,2]上有零点的是()A．f(x)＝3x2－4x＋5B．f(x)＝x3－5x－5C．f(x)＝lnx－3x＋6D．f(x)＝ex＋3x－6[答案]D[解析]A：3x2－4x＋5＝0的判别式Δ<0，∴此方程无实数根，∴f(x)＝3x2－4x＋5在[1,2]上无零点．B：由f(x)＝x3－5x－5＝0得x3＝5x＋5.在同一坐标系中画出y＝x3，x∈[1,2]与y＝5x＋5，x∈[1,2]的图象，如图1，两个图象没有交点．∴f(x)＝0在[1,2]上无零点．C：由f(x)＝0得lnx＝3x－6，在同一坐标系中画出y＝lnx与y＝3x－6的图象，如图2所示，由图象知两个函数图象在[1,2]内没有交点，因而方程f(x)＝0在[1,2]内没有零点．D： f(1)＝e＋3×1－6＝e－3<0，f(2)＝e2>0，∴f(1)·f(2)<0.∴f(x)在[1,2]内有零点．6．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是()A．－1和B．1和－C.和D．－和－[答案]B[解析]由于f(x)＝x2－ax＋b有两个零点2和3，∴a＝5，b＝6.∴g(x)＝6x2－5x－1有两个零点1和－.二、填空题7．函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为________．[答案]0[解析] y＝f(x)为偶数，∴f(－x)＝f(x)，∴四个根之和为0.8．函数f(x)＝的零点的个数为________．[答案]2[解析]当x≤0时，令2x2－x－1＝0，解得x＝－(x＝1舍去)；当x＞0时，令3x－4＝0，解得x＝log34，所以函数f(x)＝有2个零点．三、解答题9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；(2)f(x)＝x2＋x＋2；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝3x＋1－7；(5)f(x)＝log5(2x－3)．[解析](1)因为f(x)＝－8x2＋7x＋1＝－(8x＋1)(x－1)，令f(x)＝0，解得x＝－或x＝1，所以函数的零点为－和1.(2)令x2＋x＋2＝0，因为Δ＝12－4×1×2＝－7<0，所以方程无实数根，所以f(x)＝x2＋x＋2不存在零点．(3)因为f(x)＝＝，令＝0，解得x＝－6，所以函数的零点为－6.(4)令3x＋1－7＝0，解得x＝log3，所以函数的零点为log3.(5)令log5(2x－3)＝0，解得x＝2，所以函数的零点为2.10．(2015·北京高一检测)已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．[解析]设f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)，如图，有两种情况．第一种情况，解得－2＜m＜－.第二种情况，此不等式组无解．综上，m的取值范围是－2＜m＜－.能力提升一、选择题1．若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)＜0，f(1)＞0，f(2)＞0，则下列说法正确的是()A．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点B．f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点C．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点D．f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点[答案]C2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：x1234567f(x)123.521.5－7.8211.57－53.7－126.7－129.6那么函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A．2个B．3个C．4个D．5个[答案]B3．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点在1003个，则f(x)的零点的个数为()A．1003B．1004C．2006D．2007[答案]D4．(2015·宁夏银川一中第一次月考)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)·(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(b，c)和(c，＋∞)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(a，b)和(b，c)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内[答案]C[解析]由于a＜b＜c...
