第三章三角恒等变换§3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式课时目标1.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式.2.掌握两角差的余弦公式．两角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝____________________________，其中α、β为任意角．一、选择题1．cos15°cos105°＋sin15°sin105°＝()A．－B.C．0D．12．化简cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα得()A．cosαB．cosβC．cos(2α＋β)D．sin(2α＋β)3．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得()A.B．－C.D．－4．若cos(α－β)＝，cos2α＝，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为()A.B.C.D.5．若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是()A．－B.C.D.6．若sinα＋sinβ＝1－，cosα＋cosβ＝，则cos(α－β)的值为()A.B．－C.D．1题号123456答案二、填空题7．cos15°的值是________．8．若cos(α－β)＝，则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝________.9．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值是________．10．已知α、β均为锐角，且sinα＝，cosβ＝，则α－β的值为________．三、解答题11．已知tanα＝4，cos(α＋β)＝－，α、β均为锐角，求cosβ的值．12．已知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求β的值．能力提升13．已知cos(α－)＝－，sin(－β)＝，且<α<π，0<β<，求cos的值．114．已知α、β、γ∈，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，求β－α的值．1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．§3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.1两角差的余弦公式答案知识梳理cosαcosβ＋sinαsinβ作业设计1．C2.B3．A[原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝.]4．C[sin(α－β)＝－(－<α－β<0)．sin2α＝，∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝·＋·＝－，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.]5．B[∵sin(π＋θ)＝－，∴sinθ＝，θ是第二象限角，∴cosθ＝－.∵sin＝－，∴cosφ＝－，φ是第三象限角，∴sinφ＝－.∴cos(θ－φ)＝cosθcosφ＋sinθsinφ＝×＋×＝.]6．B[由题意知①2＋②2⇒cos(α－β)＝－.]7.8.解析原式＝2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝2＋2cos(α－β)＝.9．－解析由①2＋②2⇒2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1⇒cos(α－β)＝－.10．－解析∵α、β∈，∴cosα＝，sinβ＝，∵sinα0，∴<α－<π，0<－β<.∴sin(α－)＝＝.cos(－β)＝＝.∴cos＝cos[(α－)－(－β)]＝cos(α－)cos(－β)＋sin(α－)sin(－β)＝(－)×＋×＝.14．解由已知，得sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ.平方相加得(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝1.∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝，∴β－α＝±.∵sinγ＝sinβ－sinα>0，∴β>α，∴β－α＝.3
