高中数学 2.3 圆的方程 2.3.2 圆的一般方程课堂探究 新人教B版必修2-新人教B版高一必修2数学试题VIP专享VIP免费

2.3.2圆的一般方程课堂探究探究一二元二次方程表示圆的条件方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法：(1)(配方法)对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆；(2)(运用圆的一般方程的判断方法求解)即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆．【典型例题1】若关于x，y的方程x2＋mxy＋y2＋2x－y＋n＝0表示的曲线是圆，则m＋n的取值范围是()A.B.C.D.解析：因为x2＋mxy＋y2＋2x－y＋n＝0表示圆，所以解得n＜，所以m＋n＜.答案：A探究二用待定系数法求圆的方程1．用待定系数法求圆的方程的大致步骤如下：2．对圆的一般方程和标准方程的选择：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再利用待定系数法求出常数D，E，F.【典型例题2】(1)已知A(－1,1)，B(6,0)，C(－1,7)，则△ABC的外接圆的方程是__________．解析：设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，B，C三点的坐标代入方程，解方程组得D＝－6，E＝－8，F＝0，从而圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.答案：x2＋y2－6x－8y＝0(2)求圆心在y＝－x上且过两点(2,0)，(0，－4)的圆的一般方程，并把它化成标准方程．解：探究三与圆有关的轨迹问题圆是一个双重对称图形，与圆有关的轨迹问题可结合圆的有关性质解决，解决的方法可以是直接法、定义法、相关点代入法等．(1)直接法：根据题设，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点所满足的关系式；(2)定义法：当所列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出点的轨迹方程；(3)相关点代入法：若动点P(x，y)因为圆上的另一动点Q(x1，y1)而运动，且x1，y1可用x，y表示，则将Q点的坐标代入已知圆的方程，求得动点的轨迹方程．【典型例题3】已知一曲线是与两定点(0,0)和(3,0)距离之比为m(m>0)的点的轨迹，求此曲线方程，并说明是什么曲线．思路分析：设动点坐标为(x，y)，将题设条件等式用方程给出，化简方程为最简形式即可．解：设所求曲线上任一点的坐标为P(x，y)，由题意得，＝m，即(m2－1)x2＋(m2－1)y2－6m2x＋9m2＝0.当m＝1时，x＝，其轨迹为两点的中垂线；当m≠1时，方程可化为2＋y2＝2，其轨迹是以为圆心，以为半径的圆．点评求轨迹方程与轨迹是不同的，求轨迹方程时只需要求出方程，求轨迹时，不仅要求出轨迹方程，还要指出方程表示的图形，如果方程中含有参数要分类讨论，如有不符合条件的点要舍去．【典型例题4】已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．解法一：设点M(x，y)，点P(x0，y0)，则所以因为点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，所以x20＋y20－8x0－6y0＋21＝0.所以(2x)2＋(2y)2－8·(2x)－6·(2y)＋21＝0.即点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－3y＋＝0.解法二：设点M的坐标为(x，y)，连接OC，PC，取线段OC的中点A，连接MA.圆C的方程可化为(x－4)2＋(y－3)2＝4，圆心C(4,3)，|CP|＝2，则点A的坐标为.如图所示，在△OCP中，M，A分别是OP，OC的中点，则|MA|＝|CP|，即|MA|＝1.又当O，C，P三点共线时，|MA|＝1.所以点M的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆．所以点M的轨迹方程为(x－2)2＋2＝1.探究四求圆关于点(线)对称的圆1．求圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2关于点P(x0，y0)对称的圆的方程，首先要找出圆心C(a，b)关于点P(x0，y0)的对称点，得到对称圆的圆心，半径不变，即得所求圆的方程．2．求圆关于直线mx＋ny＋p＝0对称的圆的方程，只需求出圆心关于直线的对称点即可．【典型例题5】试求圆C：x2＋y2－x＋2y＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称的曲线C′的方程．思路分析：对称圆的圆心坐标变化、半径不变，另外可利用相关点法来求．解法一：设P′(x，y)为所求曲线C′上任意一点，P′关于l的对称点为P(x0，y0)，则P(x0，y0)在圆C上．由题意可得解得(*)因为P(x0，y0)在圆C上，所以x20＋y20－x0＋2y0＝0，将(*)代入，得(y－1)2＋(x＋1)2－(y－1)＋2(x＋1)＝0.化简，得x2＋y2＋4x－3y＋5＝0，即曲线C′的方程是x2＋y2＋4x－3y＋5＝0.解法二：(特殊对称)圆C关于直线l的对称图形仍然是圆，且半径不变，故只需求圆心C′，圆心C关于直线l：x－y＋1＝0的对称点为C′，因此所求圆C′的方程为(x＋2)2＋2＝.