活页作业(十九)对数的运算知识点及角度难易度及题号基础中档稍难对数恒等式5对数运算性质1、2、84、7换底公式63综合问题9、1110、121．log3＋2log310＝()A．0B．1C．2D．3解析：原式＝log3＋log3100＝log39＝2.答案：C2．已知log32＝a,3b＝5，则log3用a，b表示为()A.(a＋b＋1)B．(a＋b)＋1C.(a＋b＋1)D．.＋b＋1解析：由3b＝5得，b＝log35，而log3＝(log310＋1)＝(log35＋log32＋1)＝(a＋b＋1)，故选A.答案：A3．设log34·log48·log8m＝log416，则m的值为()A.B．9C．18D．27解析：由题意得··＝log416＝log442＝2.∴＝2，即lgm＝2lg3＝lg9.∴m＝9.故选B.答案：B4．定义新运算“&”与“*”：x&y＝xy－1，x*y＝log(x－1)y，则函数f(x)＝是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数解析：因为f(x)＝＝＝＝(x≠0)，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．故选A.答案：A5.计算：＝______.解析：.答案：－46．(log43＋log83)(log32＋log98)＝________.1解析：原式＝＝＝·＝.答案：7．求值：(1)＋lg.(2)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25.解：(1)原式＝＋lg＝＝＝＝.(2)∵lg2＋lg5＝lg(2×5)＝lg10＝1.∴原式＝(lg2)2＋lg2·lg(2×52)＋lg52＝(lg2)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＋2lg5＝(lg2)2＋(lg2)2＋2lg2·lg5＋2lg5＝2(lg2)2＋2lg2·lg5＋2lg5＝2lg2·(lg2＋lg5)＋2lg5＝2lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.8．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y等于()A．3B．8C．4D．log48解析：∵2x＝3，∴x＝log23.又log4＝y，∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋2(log48－log43)＝log23＋2＝log23＋3－log23＝3.故选A.答案：A9．已知f(x)＝kx＋－4(k∈R)，f(lg2)＝0，则f＝________.解析：f(lg2)＝klg2＋－4＝0，∴k＝＝，f＝·(－lg2)－－4＝－8.答案：－810．若a，b，c∈N*，且满足a2＋b2＝c2，(1)求log2＋log2的值．(2)若log4＝1，log8(a＋b－c)＝，求a，b，c的值．解：(1)∵a2＋b2＝c2，∴log2＋log2＝log2＝log2＝log2＝log2＝1.(2)∵log4＝1，2∴＝4.即3a－b－c＝0①∵log8(a＋b－c)＝，∴a＋b－c＝4②∵a2＋b2＝c2③且a，b，c∈N*，∴由①②③解得a＝6，b＝8，c＝10.11．已知a，b，c是△ABC的三边，并且关于x的二次方程x2－2x＋lg(c2－b2)－2lga＋1＝0有等根，试判断△ABC的形状．解：由题意知Δ＝0，即(－2)2－4[lg(c2－b2)－2lga＋1]＝0⇒2lga－lg(c2－b2)＝0⇒lg＝0⇒＝1⇒a2＋b2＝c2△⇒ABC是直角三角形．12．已知100m＝5,10n＝2.(1)求2m＋n的值；(2)x1、x2、…、x10均为正实数，若函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，且f(x1·x2·…·x10)＝2m＋n，求f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值．解：(1)方法一：∵100m＝102m＝5，∴102m·10n＝102m＋n＝10，∴2m＋n＝1.方法二：∵100m＝5，∴2m＝lg5∵10n＝2，∴n＝lg2，∴2m＋n＝lg5＋lg2＝lg10＝1.(2)由对数的运算性质知loga(x1·x2·…·x10)＝logax1＋logax2＋…＋logax10，logax2＝2logax且由(1)知2m＋n＝1，∴f(x1x2…x10)＝f(x1)＋f(x2)＋…＋f(x10)＝1，∴f(x)＋f(x)＋…＋f(x)＝2[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(x10)]＝2×1＝2.1．使用对数恒等式应注意的三项：对于对数恒等式alogaN＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．32．对数的运算性质及应用：(1)能用语言准确叙述对数的运算性质．loga(M·N)＝logaM＋logaN→积的对数等于对数的和．loga＝logaM－logaN→商的对数等于对数的差．logaMn＝nlogaM(n∈R)→真数的n次幂的对数等于对数的n倍．(2)利用对数的运算性质可以把乘、除、乘方的运算转化为对数的加、减、乘运算，反之亦然．(3)对于每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．3．利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．4
