第二章2.22.2.1第二课时对数的运算基础巩固一、选择题1．下列式子中正确的个数是()①loga(b2－c2)＝2logab－2logac；②(loga3)2＝loga32；③loga(bc)＝(logab)·(logac)；④logax2＝2logax.A．0B．1C．2D．3[答案]A2．如果lgx＝lga＋2lgb－3lgc，则x等于()A．a＋2b－3cB．a＋b2－c3C.D.[答案]C[解析]lgx＝lga＋2lgb－3lgc＝lg，∴x＝，故选C.3．若log34·log8m＝log416，则m等于()A．3B．9C．18D．27[答案]D[解析]原式可化为：log8m＝，∴log2m＝2log43，∴m＝3，m＝27，故选D.4．(2015·福建省晋江市季延中学高一上学期期末考试数学试题)计算(log64＋log63)(log312－2log32)＝()A．0B．1C．2D．4[答案]B[解析]log64＋log63＝log64＋log63＝log62＋log63＝log66＝1，log312－2log32＝log312－log34＝log33＝1，∴选B.5．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为()A．a－2B．5a－2C．3a－(1＋a)2D．3a－a2－1[答案]A[解析]由log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a－2.6．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lg)2的值等于()A．2B.C．4D.[答案]A[解析]由根与系数的关系，得lga＋lgb＝2，lga·lgb＝，∴(lg)2＝(lga－lgb)2＝(lga＋lgb)2－4lga·lgb＝22－4×＝2，故选A.二、填空题7．(2015·河北孟村回民中学月考试题)化简log2(1＋＋)＋log2(1＋－)＝________.[答案][解析]log2(1＋＋)＋log2(1＋－)＝log2[(1＋)2－2]＝log22＝log22＝.8．若lgx－lgy＝a，则lg()3－lg()3＝________.[答案]3a[解析]∵lgx－lgy＝a，∴lg()3－lg()3＝3(lg－lg)＝3(lgx－lgy)＝3a.三、解答题9．计算：(1)(log33)2＋log0.25＋9log5－log1；(2)lg25＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3).[分析]直接利用对数的运算性质进行计算，注意对真数进行适当的拆分与组合．[解析](1)(log33)2＋log0.25＋9log5－log1＝()2＋1＋9×－0＝＋1＋＝.(2)原式＝lg25＋lg8＋lg·lg(10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝lg(25×4)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.(3)＝＝＝＝＝＝＝1.[点评]在解题中，对于常用对数要注意要10＝2×5,2＝10÷5,5＝10÷2的拆解与公式的灵活运用．10．(1)计算：(log23＋log49＋log827＋…＋log2n3n)×log9；(2)设lg2＝a，lg3＝b，求log512.[解析](1)原式＝(log23＋＋＋…＋)×log9＝(log23＋log23＋log23＋…＋log23)×log9＝n×log23××log32＝.(2)log512＝＝＝＝.因为lg2＝a，lg3＝b，所以log512＝＋＝.能力提升一、选择题1．(2015·河北衡水中学期中)若xlog34＝1，则4x＋4－x的值为()A.B.C．2D．1[答案]B[解析]由xlog34＝1得x＝log43，所以4x＋4－x＝3＋＝，故选B.2．lg8＋3lg5的值为()A．－3B．－1C．1D．3[答案]D[解析]lg8＋3lg5＝3lg2＋3lg5＝3(lg2＋lg5)＝3lg10＝3，故选D.3．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝()A.B．10C．20D．100[答案]A[解析]a＝log2m，b＝log5m，则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.∴m＝，故选A.4．已知方程x2＋xlog26＋log23＝0的两个实数根为α、β，则()α·()β等于()A.B．36C．－6D．6[答案]B[解析]由题意知：α＋β＝－log26，()α·()β＝()α＋β＝()－log26＝4log26＝22log26＝36，故选B.二、填空题5．(2015·全国高考安徽卷文科，11题)lg＋2lg2－()－1＝________.[答案]－1[解析]lg＋2lg2－()－1＝lg＋lg4－2＝－1.6．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则log(abc)x＝________.[答案]1[解析]∵logax＝＝2，∴logxa＝.同理logxc＝，logxb＝.∴logabcx＝＝＝1.三、解答题7．若a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．[分析]用换元法把对数方程转化为一元二次方程，由根与系数的关系求出a与b的关系式，可得结果．[解析]原方程可化为2(lgx)2－4lgx＋1＝0，设t＝lgx，则原方程化为2t2－4t＋1＝0.所以t1＋t2＝2，t1t2＝.由已知a，b是原方程的两个实根，则t1＝lga，t2＝lgb，所以lga＋lgb＝2，lga·lgb＝.所以lg(ab)·(logab＋logba)＝(lga＋lgb)(＋)＝＝(lga＋lgb)·＝2×＝12.8．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py.(1)求p的值；(2)求证：－＝.[解析](1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k＞0，且k≠1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k.由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·.∵log3k≠0，∴p＝2log34.(2)证明：－＝－＝logk6－logk3＝logk2，又∵＝logk4＝logk2，∴－＝.
