§3全称量词与存在量词1.下列命题与其他命题不同的是()A.有一个平行四边形是矩形B.任何一个平行四边形是矩形C.某些平行四边形是矩形D.有的平行四边形是矩形解析:A,C,D是特称命题,B是全称命题.答案:B2.判断下列全称命题的真假,其中真命题为()A.所有奇数都是素数B.任给x∈R,x2+1≥1C.对每个无理数x,x2是有理数D.每个函数都有反函数答案:B3.下列命题不是特称命题的是()A.有些实数没有平方根B.能被5整除的数也能被2整除C.存在x∈{x|x>3},使x2-5x+6<0D.有一个m,使2-m与|m|-3异号答案:B4.命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是()A.不存在x∈R,使x3-x2+1≤0B.存在x∈R,使x3-x2+1≤0C.存在x∈R,使x3-x2+1>0D.对任意的x∈R,x3-x2+1>0答案:C5.命题“存在x∈R,使2x≤0”的否定是()A.不存在x∈R,使2x>0B.存在x∈R,使2x≥0C.对任意的x∈R,2x≤0D.对任意的x∈R,2x>0答案:D6.在下列特称命题中,假命题的个数是.①有的实数是无限不循环小数;②有些三角形不是等腰三角形;③有的菱形是正方形.解析:①为真命题,如π为实数,是无限不循环小数,②③均为真命题.答案:07.写出下列全称命题的否定.(1)对任意x∈R,x2+x+1>0:.(2)对任意x∈Q,x2+x+1是有理数:.解析:全称命题的否定是特称命题,即“对任意x∈M,p(x)成立”的否定是“存在x∈M,使p(x)不成立”.答案:(1)存在x∈R,使x2+x+1≤0(2)存在x∈Q,使x2+x+1不是有理数8.写出下列特称命题的否定.(1)存在α,β∈R,使sin(α+β)=sinα+sinβ:;(2)存在x,y∈Z,使3x-2y=10:.解析:特称命题的否定是全称命题,即“存在x∈M,使p(x)成立”的否定是“对任意x∈M,p(x)不成立”.答案:(1)对任意α,β∈R,有sin(α+β)≠sinα+sinβ(2)对任意x,y∈Z,有3x-2y≠109.已知a>0,命题p:存在x∈R,使|x-4|+|x-3|
1,即a的取值范围是(1,+∞).10.写出下列命题的否定形式,并判断其真假.(1)不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根;(2)存在一个实数x,使得x2+x+1≤0;(3)有些质数是奇数;(4)能被5整除的整数,末位是0;(5)对任意角α,都有sin2α+cos2α=1.解:(1)这一命题可以表述为“对所有的实数m,方程x2+x-m=0有实数根”.其否定为“存在实数m,使得方程x2+x-m=0没有实数根”.因为当Δ=1+4m<0,即m<-时,一元二次方程没有实数根,所以,命题的否定是真命题.(2)这一命题的否定为“对任意实数x,都有x2+x+1>0”.因为x2+x+1=>0,所以它为真命题.(3)这一命题的否定为“所有的质数不是奇数”.很明显,质数3就是奇数,所以命题的否定是假命题.(4)这一命题的否定为“存在一个可以被5整除的整数,其末位不是0”.我们知道,25能被5整除,它的末位不是0,所以命题的否定是真命题.(5)这一命题的否定为“存在α∈R,使sin2α+cos2α≠1”.因为原命题是真命题,所以命题的否定为假命题.备选习题1.下列命题中是全称命题并且是真命题的是()A.所有菱形的四条边都相等B.若2x是偶数,则任意x∈NC.任意x∈R,x2+2x+1>0D.π是无理数解析:选项A,C是全称命题,但选项C是假命题.答案:A2.写出下列命题的否定形式.(1)有些三角形的三个内角都等于60°;(2)能够被3整除的整数,都能够被6整除;(3)存在θ∈R,使得函数y=sin(2x+θ)是偶函数;(4)对任意x,y∈R,|x+1|+|y-1|>0.解:(1)任意一个三角形的三个内角不能都等于60°.(2)存在一个能够被3整除的整数,不能够被6整除.(3)对任意θ∈R,函数y=sin(2x+θ)都不是偶函数.(4)存在x,y∈R,使|x+1|+|y-1|≤0.3.若全称命题“对任意x∈[-1,+∞),x2-2ax+2≥a恒成立”是真命题,求实数a的取值范围.解法1:由题意,对任意x∈[-1,+∞),令f(x)=x2-2ax+2≥a恒成立,把函数f(x)=x2-2ax+2配方得f(x)=(x-a)2+2-a2.则命题可转化为对任意x∈[-1,+∞),f(x)min≥a恒成立,即对任意x∈[-1,+∞),f(x)min=由f(x)min≥a,可得a∈[-3,1].解法2:x2-2ax+2≥a,即x2-2ax+2-a≥0,令f(x)=x2-2ax+2-a.所以全称命题转化为对任意x∈[-1,+∞),f(x)≥0恒成立.所以Δ≤0或解得-2≤a≤1或-3≤a<-2.所以-3≤a≤1.综上,所求实数a的取值范围是[-3,1].4.已知函数f(x)=ax2+bx+c的图像过点(-1,0),是否存在常数a,b,c,使不等式x≤f(x)≤对一切实数x恒成立?解:假设存在常数a,b,c,使题设命题成立.∵f(x)的图像过点(-1,0),∴a-b+c=0.∵x≤f(x)≤对一切x∈R恒成立,∴当x=1时也成立,即1≤a+b+c≤1,故有a+b+c=1.∴b=,c=-a.∴f(x)=ax2+x+-a.故应有x≤ax2+x+-a≤对一切x∈R恒成立,即恒成立,可得∴a=.∴c=-a=.∴存在一组常数:a=,b=,c=,使不等式x≤f(x)≤对一切实数x恒成立.
