高一数学正弦定理、余弦定理人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：正弦定理、余弦定理二.重点、难点：（1）正弦定理（2）余弦定理（3）面积公式【典型例题】[例1]△ABC中，∠A=30°，①，求边c②，求边c③，求边c④，求边c⑤，求边c解：（1）（法一）无解（法二）无解（2）（法一）（法二）∴（3）（法一）①B锐角∴②B为锐角∴（法二）（4）（法一）①B为锐角∴②B为钝角舍（法二）（5）（法一）①B为锐角②B为钝角∴舍（法二）∴分析无解1解两解1解总结，三角形有三边，三角六个基本量知其三（至少一个为边）可求其余的量（1）三边（可用余弦定理）（2）两边一夹角（可用余弦定理）（3）两边一对角（为例1情况最复杂）（4）一边两角即一边三角（可用正弦定理）[例2]△ABC中，三边长为，且三边上高线长为2cm，3cm，4cm，求。解：，，∴∴[例3]△ABC中，，，∠A平分线，AD=2，求三个角的度数。解：∴∴∴A=60°∴∴∠B=30°∠C=90°[例4]△ABC中，，，求。解：∵∴∴∴∴[例5]在△ABC中，已知，，若，求。解：∵∴设，，则由（1）（2）消去，得，解得或∵时，故舍去∴，此时，，[例6]在△ABC中，，判断这个三角形的形状。解：应用正弦定理、余弦定理，可得整理为即所以，即所以△ABC是直角三角形[例7]在△ABC中，，是方程的一个根，求△ABC周长的最小值。解：∵∴，又∵是方程的一个根∴由余弦定理可得则当时，最小且，此时所以，△ABC周长的最小值为[例8]在△ABC中，，试判断三角形的形状。解法一：∵∴∴∴∴故此三角形是等腰三角形解法二：设，则，∵∴∴∴∵，∴∴，即A=B故此三角形是等腰三角形[例9]在△ABC中，分别为角A、B、C的对边，且，求角B的大小。解：∵，根据正弦定理得化简为∴在△ABC中，∴∵∴[例10]在△ABC中，角A、B、C的对边分别为，C=2A，，，（1）求的值；（2）求的值。解：（1）由C=2A及正弦定理得（2）由解得由余弦定理得化简得，解得或检验：若，则A=B，∴与条件矛盾，所以不合题意，舍去，所以【模拟试题】1.一个三角形的两个内角分别为30°和45°，如果45°角所对的边长为8，那么30°角所对边的长是（）A.4B.C.D.2.△ABC中，，，A=30°，则B等于（）A.60°B.60°或120°C.30°或°150°D.120°3.在△ABC中，B=45°，C=60°，，则最短边的长等于（）A.B.C.D.4.△ABC中，A=60°，，，那么满足条件的△ABC（）A.不存在B.唯一存在C.有2个D.不确定5.在△ABC中，若A=60°，，则等于（）A.2B.C.D.6.在△ABC中，已知，，A=30°，则。7.在△ABC中，周长为7.5cm，且，下列结论：①；②；③；④。其中成立的序号依次是。8.在△ABC中，，，，那么B等于（）A.30°B.45°C.60°D.120°9.若三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段（）A.能组成直角三角形B.能组成锐角三角形C.能组成钝角三角形D.不能组成三角形10.在△ABC中，若，则（）A.30°B.60°C.120°D.150°11.△ABC中，如果，，A=30°，边（）A.6B.12C.6或12D.无解12.在△ABC中三边之比，则△ABC中最大角的大小为（）A.B.C.D.13.在△ABC中，，，B=150°，则。14.在△ABC中，若，则A=。15.在△ABC中，已知，A=45°，C=30°，求和B。16.在△ABC中，已知，，B=45°，求A、C及。17.在△ABC中，，，是方程的两个根，且，求：（1）角C的度数；（2）AB的长度。试题答案1.B2.B3.A4.A5.A6.7.①③8.C9.B10.C11.C12.B13.714.60°15.解：∵，A=45°，C=30°∴由，得由，得16.解一：根据正弦定理，∵，且∴或120当A=60时，C=75，当A=120时，C=15，解二：根据余弦定理，将已知条件代入，整理得，解得当时，，从而A=60，C=75；当时，同理可求得：A=120，C=15。17.解：（1）∴C=120°（2）由题设得∴∴
