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例谈函数解析式的求法重庆黔江新华中学侯建新一、解析式的表达形式解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。1、一般式是大部分函数的表达形式,例一次函数:二次函数:反比例函数:正比例函数:2、分段式若函数在定义域的不同子集上对应法则不同,可用n个式子来表示函数,这种形式的函数叫做分段函数。(注意分段函数的定义域和值域)例(2001上海)设函数,则满足的x的值为。解:当时,由得,,与矛盾;当时,由得,。∴3、复合式若y是u的函数,u又是x的函数,即,那么y关于x的函数叫做f和g的复合函数。例已知,则,。解:二、解析式的求法根据已知条件求函数的解析式,常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值(式)法、方程法等。函数的解析式是表示对应关系的式子,是函数三种表示法中最重要的一种,对某些函数问题,能否顺利解答,往往取决于是不是能够求出函数的解析式.本文就常见的函数解析式的求法归类例析如下:1.图象法用心爱心专心Oxy11-1例1已知函数=的图象如图所示.求函数的解析式.解:由图知函数是分段函数,分别对每段求解析式易得=评注:已知函数图象,求函数解析式,对于这类问题,我们只要能够准确地应用题中图象给出的已知条件确定解析式即可.2.配凑法(满足范围才能取代)例2已知.求得解析式.解: =∴=-2-2(≠1)评注:已知=,求的问题,可先用表示,然后再将用代替,即得的解析式.例已知,求。解:,()。例已知,求。解:,()。例已知:,求。解:∴注意:1、使用配凑法也要注意自变量的范围限制;2、换元法和配凑法在解题时可以通用,若一题能用换元法求解析式,则也能用配凑法求解析式。3.换元法(满足范围才能取代)用心爱心专心例3已知=,求函数的解析式.解:令,则=(引入新元要标注范围)∴从而评注:已知=,求的问题,若用配凑法难求时,则可设=,从中解出,代入进行换元来解.在换元的同时,一定要注意“新元”的取值范围.4.待定系数法当函数类型给定,且函数某些性质已知,我们常常可以使用待定系数法来求其解析式。例4求一次函数,使得=解:设一次函数为,则,=由已知可得=,比较系数得:,解得∴=+2例已知二次函数满足,,求。解:设函数为,将代入得,解得,。例已知二次函数满足且图象经过点(0,1),被轴截得的线段长为,求函数的解析式。分析:二次函数的解析式有三种形式:①一般式:②顶点式:③双根式:用心爱心专心解法1:设,则图象经过点(0,1)知:,即c=1①∴由知:整理得:即:②由被轴截得的线段长为知,,即即整理得:③由②③得:∴解法2:由知:二次函数对称轴为,所以设;以下从略。解法3:由知:二次函数对称轴为;由被轴截得的线段长为知,;易知函数与轴的两交点为,所以设,以下从略。例已知:为二次函数,且,求。5.解方程组法例5已知2+=,求的解析式.解:已知2+=①将①中变量换成,得2+=②联立①、②可得方程,消去得用心爱心专心=.例已知:,求。解:已知:①用去代换①中的得②由①×2-②得:评注:已知满足某个等式,这个等式除是已知量外,还出现其他未知量,如(-),等.可以根据已知等式再构造其它等式组成方程组,通过解方程组求出.6.特殊值法对于抽象函数,我们常常使用赋值法来探求其函数解析式。例6已知对一切,关系式都成立,且=1,求.解: 对一切、y都成立.∴令=0得∴,再令=-y得=++1例已知定义在实数集上函数对于一切、均有,且,求。解:在中,令、得,即,。例已知函数满足,求函数。用心爱心专心解:以代原关系式中的得,与原关系式联立组成方程组解得:。对于函数,当满足形如()或()等关系时,我们可以用或代替关系式中的,将得到的新式子与原关系式联立消元,将从方程中解出来。例已知函数对于一切实数都有成立,且。(1)求的值;(2)求的解析式。解:(1)取,则有(2)取,则有整理得:7.递推法对于定于在上的函数,我们可以把、、等与数列中的项、、等关联起来。我们直接从给定的条件关系式或通过巧妙的赋值,将其转化为数列的递推关系式,进而将求函数的解析式转化为求数列的通项。这样,我...

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