复数的四则混合运算[本周教学内容]：复数[重点]：复数的概念、复数的运算、复数的一些应用三部分。复数的概念：复数的代数形式，复数的模，辐角，共轭复数，规定了复数的加，减，乘，除运算，利用复数的相等求平方根，一元二次方程求根，复数的几何意义：点，向量与解析几何的联系。[难点]：一元二次方程根的讨论。[例题讲解]：例1．m为何实数时，复数Z=(2+i)m2-3(1+i)m-2(1-i)是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零。解：Z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i=(2m+1)(m-2)+(m-1)(m-2)i(1)当m=1或m=2时，Z是实数。(2)当m≠1且m≠2时，Z是虚数。(3)当即当时，Z是纯虚数。(4)当即m=2时，Z是零。例2．已知：，求实数x。解：即或x≥8。例3．计算：解：原式=1例4．求的平方根。解：设的平方根为x+yi(x,y∈R)，则由复数相等的定义得(1)2+(2)2，得(x2+y2)2=25x2+y2=5(舍去负值)........(3)(1)+(3)，x2=3,x=,(3)-(1),y2=2,。 ，∴或∴的平方根为。例5．已知：|Z+2-2i|=1，求：|Z|的最值。解：|Z-(-2+2i)|=1，几何意义：Z在复平面上对应的点集是以O＇(-2,2)为圆心，r=1的圆。|Z|的几何意义是⊙O＇上的点与原点的距离；，∴,。例6．说明|Z+1|+|Z-2|=2a(a∈R+)表示的曲线。解：原式|Z-(-1)|+|Z-2|=2a，几何意义是Z在复平面上对应的点Z与F1(-1,0)，F2(2,0)距离之和等于2a的轨迹，|F1F2|=3。2(1)当2a>3即时，Z的轨迹是以F1，F2为焦点，2a为长轴的椭圆。(2)当2a=3即时，Z的轨迹是线段F1，F2。(3)当2a<3即时，Z的轨迹不存在。例7．已知a∈R，方程x2+2x+a=0的两根为a、b，求|a|+|b|。解： a∈R，∴方程为实系数一元二次方程，可以用Δ来判定方程有无实根。(1)当Δ=4-4a≥0，即a≤1时，方程的根a、b为实数根。由韦达定理又 |a|+|b|≥0，∴①当0≤a≤1时，|a|+|b|=2,②当a<0时，|a|+|b|=。(2)当Δ=4-4a<0，即a>1时，方程的根a、b为虚根。例8．已知是实系数一元二次方程ax2+bx+1=0的根，求a,b的值。解：。方法(1) 实系数一元二次方程虚根为一对共轭复数，∴也是该方程的根。由韦达定理：3解得：a=1，。方法(2)， 是方根的根，代入原方程整理得：。由复数相等的定义得解得a=1，。[本周参考练习]一、选择题：1．下面四个命题，正确的是（）。A、|Z|2=Z2(Z∈C)B、(Z∈C)C、|Z|<1-1|3cosθ+i·3sinθ|B、|cosθ+isinθ|=C、|5+2i|>|-1-6i|D、|cosθ+isinθ|的最大值是，最小值是零。4．如果z=x+yi(x，y∈R)，则有（）。A、|z|≤|x|+|y|≤|z|B、|z|<|z|≤|x|+|y|C、|z|≤|x|+|y|<|z|D、|z|<|z|<|x|+|y|5．设z1，z2∈C，z1=的一个必要不充分条件是（）。A、|z1-z2|=0B、C、z1=z2D、|z1|=|z2|6．已知f(z)=1-，且z1=2+3i，z2=5-i，则的值是（）。A、-3+4iB、3-4iC、4-4iD、4+4i7．若复数z满足|z+3-4i|=2，则|z|的最小值和最大值分别是（）。A、1和9B、3和7C、5和11D、4和1058．(1+i)15-(1-i)15的值是（）。A、-256iB、256iC、256D...
