直角三角形的性质和判定（Ⅱ）本课内容本节内容1.2做一做如图1-9，在方格纸上（设小方格边长为单位1）画一个顶点都在格点上的直角三角形，使其两直角边分别为3，4，量出这个直角三角形斜边的长度.图1-9我量得c为5.我量得c为5.议一议议一议议一议议一议议一议议一议在方格纸上，以图1-9中的Rt△ABC的三边为边长分别向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，如图1-10，那么这三个正方形的面积S1，S2，S3之间有什么关系呢？图1-10议一议议一议议一议议一议议一议议一议由图1-10可知，S1=32，S2=42，为了求S3，我可以先算出红色区域内大正方形的面积，再减去4个小三角形的面积，得S3=52. 32+42=52，∴S1+S2=S3.在图1-10中，S1+S2=S3，即BC2+AC2=AB2，那么是否对所有的直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢？图1-10探究如图1-11，任作一个Rt△ABC，∠C=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，那么a2+b2=c2是否成立呢？图1-11步骤1先剪出4个如图1-11所示的直角三角形，由于每个直角三角形的两直角边长为a，b（其中b>a），于是它们全等（SAS），从而它们的斜边长相等.设斜边长为c.图1-11我们来进行研究.步骤2再剪出1个边长为c的正方形，如图1-12所示.图1-12步骤3把步骤1和步骤2中剪出来的图形拼成如图1-13的图形.图1-13由于△DHK△EIH，∴∠2＝∠4.又 ∠1+2=90°∠，∴∠1+4=90°.∠因此拼成的图形是正方形DEFG，它的边长为(a+b)，它的面积为(a+b)2.又∠KHI=90°，∴∠1+∠KHI+4=180°∠，即D，H，E在一条直线上.图1-13同理E，I，F在一条直线上；F，J，G在一条直线上；G，K，D在一条直线上.又正方形DEFG的面积为c2+，142·ababcab.221()42∴即a2+2ab+b2=c2+2ab，∴a2+b2=c2.图1-13结论直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.a2+b2=c2直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.a2+b2=c2由此得到直角三角形的性质定理：其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦（如图1-14），因此这一性质被称为勾股定理.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.在直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长，我们可以根据勾股定理，求出第三边的长.勾股弦故AD的长为12cm.在Rt△ADB中，由勾股定理得AD2+BD2=AB2，如图1-15，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC于点D.你能算出BC边上的高AD的长吗？例1图1-15举例解在△ABC中， AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC，∴BD==5.BC12222213518812.ADABBD∴在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）已知a=25，b=15，求c；（2）已知a=5，c=9，求b；（3）已知b=5，c=15，求a.练习答：（1）c=；（2）；（3）534b214a.102动脑筋如图1-16，电工师傅把4m长的梯子AC靠在墙上，使梯脚C离墙脚B的距离为1.5m，准备在墙上安装电灯.当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5m，即移动到C′处.那么，梯子顶端是否往上移动0.5m呢？图1-16在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m，图1-17由勾股定理得，（m）.224151375371AB...图1-16由图1-16抽象出示意图1-17.在Rt△ABC中，计算出AB；再在Rt△中，计算出，则可得出梯子往上移动的距离为（-AB）m.ABCABAB即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m，而不是向上移动0.5m.图1-17因此=3.87-3.71=0.16（m）.AA在Rt△中，=4m，=1m，故224115387mAB..（）ACABCBC（“引葭赴岸”问题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何？”意思是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺.如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面.问水深与芦苇长各为多少？例2宋刻《九章算术》书影举例分析根据题意，先画出水池截面示意图，如图1-18.设AB为芦苇，BC为芦苇出水部分，即1尺，将芦苇拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B′.在Rt△ACB′中，根据勾股定理，得x2+52=（x+1）2，答：水池的深度为12尺，芦苇长为13尺.如图1-18，设水池深为x尺，则AC=x尺，AB=AB′=（x+1）尺.解...
