2015全国高中数学联赛模拟试题02一、填空题(每小题8分,共64分)1.在如下图所示的正方体中,二面角等于(用反三角函数表示)2.如果三角形的三个内角满足依次成等差数列,则角的最大值是3.实数列满足条件:,则通项公式。4.是椭圆的两个焦点,为椭圆上任意一点,如果的面积为1,则5.在同一直角坐标系中,函数与其反函数的图像恰有三个不同的交点,则实数的取值范围是6.已知正实数与非负实数满足(1);(2),则的最大值为__________.7.已知20块质量为整数克的砝码可称出克的物品,砝码只能放在天平一端,则最大砝码质量最小值为________________克.8.设是定义在区间上的函数,则函数的图像与轴所围成图形的面积是二、简答题(本大题共3小题,共56分)9.(16分)设数列的前项和组成的数列满足,已知求数列的通项公式。10.(20分)设是多项式方程的三个根。(1)已知都落在区间之中,求这三个根的整数部分;(2)证明:11.(20分)如下图,椭圆是椭圆上的两点,直线是上的一个动点,是过点且与相切的直线,分别是直线与,与,与的交点,求证:三条直线和共点。2015全国高中数学联赛模拟试题02一、填空题(每小题8分,共64分)1.在如下图所示的正方体中,二面角等于解:2.如果三角形的三个内角满足依次成等差数列,则角的最大值是解:.记,则.由于至多一个负数,故,且.即.消去后,得到,方程有实根,所以,故即且时等号成立3.实数列满足条件:,则解:.计算前几项可以猜出结果,再用数学归纳法可以证明.4.是椭圆的两个焦点,为椭圆上任意一点,如果的面积为1,则解:.不妨假定设.则的斜率为,的斜率为,因此,解得又,所以,点.从而,所以5.设是定义在区间上的函数,则函数的图像与轴所围成图形的面积是6.已知正实数与非负实数满足(1);(2),则的最大值为__________.解:.由均值不等式知:,于是,即.取满足条件,且取到最大值.7.已知20块质量为整数克的砝码可称出克的物品,砝码只能放在天平一端,则最大砝码质量最小值为________________克.解:147.设这20块砝码质量为.首先用归纳法证明:.(1)当时,显然,(2)设结论对成立,若,则由知克的物品无法称量,矛盾!于是,,所以,所以,即,又当,时,符合条件,故最小值为147克.8.在同一直角坐标系中,函数与其反函数的图像恰有三个不同的交点,则实数的取值范围是二、简答题(本大题共3小题,共56分)9.(16分)设数列的前项和组成的数列满足,已知求数列的通项公式。10.(20分)设是多项式方程的三个根。(1)已知都落在区间之中,求这三个根的整数部分;(2)证明:11.(20分)如下图,椭圆是椭圆上的两点,直线是上的一个动点,是过点且与相切的直线,分别是直线与,与,与的交点,求证:三条直线和共点。PSHMACB解答三:利用赛瓦定理2015全国高中数学联赛模拟试题02一(本题满分40分)对任意实数,定义运算“”为:.在直角坐标系中,设点集,求所对应的平面区域的面积.二(本题满分40分)如图,在中,,为的垂心,M为边BC的中点,点在边上且满足,点在直线上的射影为.证明:的外接圆与的外接圆相切.三(本题满分50分)整数满足.求的最小值,并求出一切达到最小值的四元数组四(本题满分50分)设整数,,,对,记为满足,,的数组的个数,类似定义,.证明:.2015全国高中数学联赛模拟试题02一(本题满分40分)对任意实数,定义运算“”为:.在直角坐标系中,设点集,求所对应的平面区域的面积.解:根据运算“”的定义,为整数,进而,①其中表示的小数部分.同理可知.②比较①、②可知,当且仅当.由于,而与均是偶数,故上式成立的充分必要条件是,且.③若,则,.若,则,.若,则,.当取自、、中不同的区间时,③不成立.对,记,则根据上述讨论知,所对应的平面区域面积,因此点集所对应的平面区域面积为.二(本题满分40分)如图,在中,,为的垂心,M为边BC的中点,点在边上且满足,点在直线上的射影为.证明:的外接圆与的外接圆相切.证明:联接并延长交的外接圆于点,作与的外接圆交于点,易知关于对称,故,因此,由此推出,故为外接圆的直径.又由,结合知四边形为平行四边形,所以过点.设为在上的射影,延长交的外接圆...