直线与圆的位置关系本课内容本节内容2.5——2.5.4三角形的内切圆想在一块三角形硬纸板上剪下一个面积最大的圆形纸板，应当怎样剪？议一议议一议议一议如图，为了使圆形纸板的面积最大，这个圆应当与三角形的三条边都尽可能贴近．如图，为了使圆形纸板的面积最大，这个圆应当与三角形的三条边都尽可能贴近．这使得我们猜测：这个圆应当与三角形的三条边都相切.如果存在，那么如何画出这样的圆？与三角形的三条边都相切的圆存在吗？动脑筋如果圆与△ABC的三条边都相切，那么圆心O到三条边的距离都等于半径，从而这些距离相等.如果圆与△ABC的三条边都相切，那么圆心O到三条边的距离都等于半径，从而这些距离相等.我们已经知道，到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心O是∠A的与∠B的平分线的交点.我们已经知道，到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心O是∠A的与∠B的平分线的交点.根据以上分析，我们可以按下面的方法画一个圆与三角形的三边都相切.如下图，已知△ABC.求作：与△ABC的各边都相切的圆.①作∠A，∠B的平分线AD，BE，它们相交于点O；②过点O作AB的垂线，垂足为M；③以点O为圆心，OM为半径作圆.圆O就是所求作的圆，如图所示.作法：由以上分析和作法可知，与三角形的三条边都相切的圆有且只有一个.如图所示，设点O是△ABC的内心，由于AB，BC，CA都与⊙O相切，因此圆心O到AB，BC，CA的距离都等于圆的半径.从而圆心O在△ABC的每个内角的平分线上.与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形.结论由此得出：三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.例6如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，∠A=70°，求∠BOC的度数.举例解∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°.∵⊙O是△ABC的内切圆，∴BO，CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线，即∠1=∠ABC，∠2=∠ACB.1212∴∠BOC=180°-（∠1+2∠）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-×110°=125°.12121.任画一个三角形，求作它的内切圆.练习答：画一个三角形，然后分别作其中任意两个角的角平分线，其相交于一点O，如图.O以O为圆心，以OD的长为半径作圆，则圆O就是所求作的圆.过点O作一条边的垂线，垂足为D.D2.如图，△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，∠A=74°，∠B=47°，求圆心角∠EOF的度数.解∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OE⊥BC，OF⊥AC，即∠OEC=∠OFC=90°.又∵∠A=74°，∠B=47°,∴∠C=59°.∴在四边形OECF中，∠EOF=360°-90°-90°-59°=121°.3.已知等边三角形ABC的边长为a，求它的内切圆的半径.解连接OB、OC.O如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆.ABC则∠OBC=∠B=30°，∠OCB=∠C=30°.1212则OD⊥BC，且OD为内切圆的半径.设BC边与⊙O的切点为D，连接OD.D.326aa∴OD=tan30°在Rt△OBD与Rt△OCD中，tan30°=，∴BD=DC，即ODODBDCD.2aDC即内切圆的半径为.36aOABCD中考试题例如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F.已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE、OF、DE、DF，那么∠EDF等于（）A.40°B.55°C.65°D.70°BD解析∵∠B=50°，∠C=60°，∴∠A=70°.又∵AB、BC、AC切⊙O于点E、D、F，∴∠AEO=∠AFO=90°.∴∠EOF=360°-90°-90°-70°=110°.∴∠EDF=∠EOF=×110°=55°，故选B.1212结束
