高中数学点线对称问题精选VIP免费

对称问题专题【知识要点】1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题.设P（x0，y0），对称中心为A（a，b），则P关于A的对称点为P′（2a－x0，2b－y0）.2.点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：设点P（x0，y0）关于直线y=kx+b的对称点为P′（x′，y′），则有yy0·k=－1，xx0可求出x′、y′.yy0xx0=k·+b，22特殊地，点P（x0，y0）关于直线x=a的对称点为P′（2a－x0，y0）；点P（x0，y0）关于直线y=b的对称点为P′（x0，2b－y0）.3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下：（1）曲线f（x，y）=0关于已知点A（a，b）的对称曲线的方程是f（2a－x，2b－y）=0.（2）曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线的求法：设曲线f（x，y）=0上任意一点为P（x0，y0），P点关于直线y=kx+b的对称点为P′（x，y），则由（2）知，P与P′的坐标满足yy0·k=－1，xx0从中解出x0、y0，xxy0y=k·0+b，22代入已知曲线f（x，y）=0，应有f（x0，y0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线方程.4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，－y）；（2）点（x，y）关于y轴的对称点为（－x，y）；（3）点（x，y）关于原点的对称点为（－x，－y）；（4）点（x，y）关于直线x－y=0的对称点为（y，x）；（5）点（x，y）关于直线x+y=0的对称点为（－y，－x）.【典型例题】【例1】求直线a：2x+y－4=0关于直线l：3x+4y－1=0对称的直线b的方程.剖析：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：（1）若a、b相交，则l是a、b交角的平分线；（2）若点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时AB⊥l，并且AB的中点D在l上；（3）a以l为轴旋转180°，一定与b重合.使用这些性质，可以找出直线b的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程.2x+y－4=0，解得a与l的交点E（3，－2），E点也在b上解：由3x+4y－1=0，word.方法一：在直线a：2x+y－4=0上找一点A（2，0），设点A关于直线l的对称点B的坐标为（x0，y0），2x00y0+4×－1=0，22由y04y(2)x3480=，解得B（，－）.由两点式得直线b的方程为=，84x023552()355即2x+11y+16=0.方法二：设直线b上的动点P（x，y）关于l：3x+4y－1=0的对称点Q（x0，y0），则有xx0yy03×+4×－1=0，223×yy047x24y624x7y8=.解得x0=，y0=.xx032525Q（x0，y0）在直线a：2x+y－4=0上，7x24y624x7y8+－4=0，2525化简得2x+11y+16=0是所求直线b的方程.方法三：设直线b上的动点P（x，y），直线a上的点Q（x0，4－2x0），且P、Q两点关于直线l：3x+4y－1=0对称，则有|3x4y1||3x04(42x0)1|=，55则2×y(42x0)4=.xx03消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y－4=0（舍）.评述：本题体现了求直线方程的两种不同的途径，方法一与，除了点E外，分别找出确定直线位置的另一个条件：斜率或另一个点，然后用点斜式或两点式求出方程，方法二与方法三是利用直线上动点的几何性质，直接由轨迹求方程，在使用这种方法时，要注意区分动点坐标及参数，本题综合性较强，只有对坐标法有较深刻的理解，同时有较强的数形结合能力才能较好地完成此题.【例2】光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.剖析：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称.解： A（－3，4）关于x轴的对称点A1（－3，－4）在经x轴反射的光线上，同样A1（－3，－4）关于y轴的对称点A2（3，－4）在经过射入y轴的反射线上，64=－2.23故所求直线方程为y－6=－2（x+2），即2x...