5.4数系的扩充与复数的引入第五章5.4数系的扩充与复数的引入必备知识关键能力必备知识-2-知识梳理考点自诊1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如(a∈R,b∈R)的数叫做复数,其中实部为,虚部为当b=0时,a+bi为实数;当a=0,且b≠0时,a+bi为纯虚数;当b≠0时,a+bi为虚数复数相等a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)⇔实数能比较大小,虚数不能比较大小共轭复数a+bi与c+di共轭(a,b,c,d∈R)⇔实数a的共轭复数是a本身a+biaba=c,且b=da=c,且b=-d第五章5.4数系的扩充与复数的引入必备知识关键能力必备知识-3-知识梳理考点自诊内容意义备注复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面,叫做实轴,y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,各象限内的点都表示虚数复数的模设OZሬሬሬሬሬԦ对应的复数为z=a+bi(a,b∈R),则向量𝑂𝑍ሬሬሬሬሬԦ的长度叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi||z|=|a+bi|=ξ𝑎2+𝑏2(a,b∈R)x轴第五章5.4数系的扩充与复数的引入必备知识关键能力必备知识-4-知识梳理考点自诊2.复数的几何意义第五章5.4数系的扩充与复数的引入必备知识关键能力必备知识-5-知识梳理考点自诊3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=;②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=;③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=;④除法:𝑧1𝑧2=𝑎+𝑏i𝑐+𝑑i=(𝑎+𝑏i)(𝑐-𝑑i)(𝑐+𝑑i)(𝑐-𝑑i)=𝑎𝑐+𝑏𝑑𝑐2+𝑑2+𝑏𝑐-𝑎𝑑𝑐2+𝑑2i(c+di≠0).(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=,(z1+z2)+z3=.(a+c)+(b+d)I(a-c)+(b-d)I(ac-bd)+(ad+bc)Iz2+z1z1+(z2+z3)第五章5.4数系的扩充与复数的引入必备知识关键能力必备知识-6-知识梳理考点自诊(3)复数加、减法的几何意义若复数z1,z2对应的向量𝑂𝑍1ሬሬሬሬሬሬሬԦ,𝑂𝑍2ሬሬሬሬሬሬሬԦ不共线,则复数z1+z2是以𝑂𝑍1ሬሬሬሬሬሬሬԦ,𝑂𝑍2ሬሬሬሬሬሬሬԦ为两邻边的平行四边形的对角线𝑂𝑍ሬሬሬሬሬԦ所对应的复数;复数z1-z2是𝑂𝑍1ሬሬሬሬሬሬሬԦ−𝑂𝑍2ሬሬሬሬሬሬሬԦ=𝑍2𝑍1ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ所对应的复数.1.(1±i)2=±2i;1+𝑖1-𝑖=i;1-𝑖1+𝑖=-i.2.-b+ai=i(a+bi)(a,b∈R).3.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N+).4.i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N+).5.复数z的方程在复平面上表示的图形(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心,以a和b为半径的两圆所夹的圆环;(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆.第五章5.4数系的扩充与复数的引入必备知识关键能力必备知识-7-知识梳理考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若a∈C,则a2≥0.()(2)已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复数z为纯虚数.()(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部为bi.()(4)方程x2+x+1=0没有解.()(5)由于复数包含实数,在实数范围内两个数能比较大小,因此在复数范围内两个数也能比较大小.()×××××2.(2018全国3,理2)(1+i)(2-i)=()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+iD解析:(1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i.第五章5.4数系的扩充与复数的引入必备知识关键能力必备知识-8-知识梳理考点自诊3.(2019全国2,文2)设z=i(2+i),则=()A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i𝑧D解析:z=2i+i2=-1+2i,则𝑧=-1-2i.故选D.4.(2019全国2,理2)设z=-3+2i,则在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限𝑧C解析:由z=-3+2i,得𝑧=-3-2i,则在复平面内𝑧对应的点(-3,-2)位于第三象限,故选C.5.(2019浙江,11)复数z=11+i(i为虚数单位),则|z|=.ξ22解析:|z|=1|1+i|=1ξ2=ξ22.第五章5.4数系的扩充与复数的引入必备知识关键能力关键能力-9-考点1考点2考点3复数的有关概念例1(1)(多选)下面四个命题中,真命题为()D.若复数z∈R,则∈R(2)(2019湖北重点中学模拟二)已知复数z满足|z|==2,则z=()A.1+iB.1-iC.1+i或1-iD.-1+i或-1-i(3)(2019江苏,2)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.A.若复数z满足1𝑧∈R,则z∈RB.若复数z满足z2∈R,则z∈RC.若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=𝑧2ξ2,z+𝑧ADC2𝑧第五章5.4数系的扩充与复数的引入必备知识关键能力关键能力-10-考点1考点2考点3...
