高中数学选修2推理与证明直接证明与间接证明VIP专享VIP免费

2.2.1综合法和分析法[学习目标]1.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法.2.了解分析法和综合法的思维过程和特点.3.会用分析法、综合法证明实际问题.知识点一综合法1.定义一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.2.基本模式综合法的证明过程如下：已知条件⇒„⇒„⇒结论即用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图可表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→„→Qn⇒Q3.综合法的证明格式因为„，所以„，所以„，„，所以„成立.思考综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答案演绎推理.知识点二分析法1.分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.2.基本模式1用Q表示要证明的结论，P表示条件，则分析法可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→„→得到一个明显成立的条件3.分析法的证明格式要证„，只需证„，只需证„，„，因为„成立，所以„成立.思考分析法与综合法有哪些异同点？答案相同点：两者都是直接利用原命题的条件(或结论)，逐步推得命题成立的证明方法——直接证明法.不同点：证法1，由因导果，使用综合法；证法2，执果索因，使用分析法.题型一综合法的应用11例1已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4.ab证明方法一 a，b是正数，且a＋b＝1，111a＋b1∴a＋b≥2ab，∴ab≤，∴＋＝＝≥4.2ababab方法二 a，b是正数，∴a＋b≥2ab>0，11＋≥2ab1>0，ab11∴(a＋b)a＋b≥4.11又a＋b＝1，∴＋≥4.ab11a＋ba＋bba方法三＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2ababab反思与感悟利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法.(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路.(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法.跟踪训练1已知a，b，c∈R，且它们互不相等，求证a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.证明 a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，a4＋c4≥2a2c2，∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)，即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.又 a，b，c互不相等.∴a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.2ba·＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号.ab题型二分析法的应用例2已知a＞5，求证a－5－a－3＜a－2－a.证明要证a－5－a－3＜a－2－a，只需证a－5＋a＜a－3＋a－2，只需证(a－5＋a)2＜(a－3＋a－2)2，只需证2a－5＋2a2－5a＜2a－5＋2a2－5a＋6，只需证a2－5a＜a2－5a＋6，只需证a2－5a＜a2－5a＋6，只需证0＜6.因为0＜6恒成立，所以a－5－a－3＜a－2－a成立.反思与感悟分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为一个明显成立的条件.利用分析法证明时，要求一般格式要规范，其关键词“要证”“只需证”等不能漏掉，这是用分析法证题易忽视的地方.跟踪训练2若a，b，c是不全相等的正数,求证lgc.证明方法一(分析法)要证lga＋bb＋cc＋a＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc，222a＋bb＋cc＋a2·2·2＞lg(abc)，a＋bb＋cc＋a＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lg222即证lga＋bb＋cc＋a只需证··＞abc.222a＋bb＋cc＋a ≥ab＞0，≥bc＞0，≥ca＞0，222a＋bb＋cc＋a∴··≥abc＞0成立.(*)222又 a，b，c是不全相等的正数，∴(*)式等号不成立，∴原不等式成立.方法二(综合法) a，b，c∈R，a＋bb＋cc＋a∴≥ab＞0，≥bc＞0，≥ca＞0.222又 a，b，c是不全相等的正数，3＋a＋bb＋cc＋a∴··＞abc，222∴lg∴lga＋bb＋cc＋a2·2·2＞lg(abc)，a＋bb＋cc＋a＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.222题型三综合法和分析法的综合应用例3已知a、b、c是不全相等的正数，且0