菱形的判定 (2)VIP免费

本节内容2.6菱形——2.6.2菱形的判定如图2-52，用4支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？把上述问题抽象出来就是：四条边都相等的四边形是菱形吗？动脑筋图2-52下面我们来证明这个结论.∵AD=BC，AB=DC，如图2-53，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.∴四边形ABCD是平行四边形.∴四边形ABCD是菱形.图2-53又AB=AD，结论四条边都相等的四边形是菱形.四条边都相等的四边形是菱形.由此得到菱形的判定定理1：举例已知：如图2-54，在四边形ABCD中，线段BD垂直平分AC，且相交于点O，∠1=2.∠求证：四边形ABCD是菱形.例2图2-54证明由于线段BD垂直平分AC，因此BA=BC，DA=DC，OA=OC.在△AOB和△COD中，有∠1=2∠，∠AOB=∠COD，OA=OC.所以△OAB≌△OCD.从而AB=CD.因此四边形ABCD是菱形.(四条边都相等的四边形是菱形)所以BA=BC=DA=DC.图2-54菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分.从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？过点O画两条互相垂直的线段AC和BD，使得OA=OC，OB=OD.连结AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD是菱形，如图2-55.过点O画两条互相垂直的线段AC和BD，使得OA=OC，OB=OD.连结AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD是菱形，如图2-55.图2-55动脑筋如图2-55，由画法可知，四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相平分，因此它是平行四边形.又已知其对角线互相垂直，上述问题抽象出来就是：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？你能说出这样画出的四边形ABCD一定是菱形的道理吗？图2-55我们来进行证明.又由于DB是线段AC的垂直平分线，由于四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相平分，因此它是平行四边形.因此，DA=DC.从而平行四边形ABCD是菱形.图2-55结论对角线互相垂直的平行四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.由此得到菱形的判定定理2：举例如图2-56，在平行四边形ABCD中，AC=6，BD=8，AD=5.求AB的长.例3图2-56∴AB=AD=5.解∵四边形ABCD为平行四边形，∴△DAO是直角三角形.∴∠DOA=90°，即DB⊥AC.∴平行四边形ABCD是菱形.（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）113422OAAC,ODBD.∴又∵AD=5，满足，222ADOAOD图2-561.画一个菱形，使它的两条对角线长度分别为4cm，3cm.练习提示：作一条线段长为4cm，再作该线段的垂直平分线，以垂足为一点在垂线上各取1.5cm的线段，依次连结两条线段的相邻顶点，所成四边形则为所求的菱形.4cm1.5cm1.5cm练习如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作MN⊥BD，分别交AD，BC于点M，N.求证：四边形BNDM是菱形.2.证明由于平行四边形ABCD，所以MD∥BN，∠ADB=∠CBD，∠DMN=∠BNM，OB=OD.所以△ODM≌△OBN.所以NB=MD.又MD∥BN，MN⊥BD，所以四边形BNDM是菱形.中考试题例1如图，如果要使□ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是.AB=AD或AC⊥BD等解析考查菱形的判定定理.中考试题例2如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P(A点除外)，过P点作EF∥AB，分别交AC、BC于E、F点，作PM∥AC，交AB于M点，连结ME.（1）求证：四边形AEPM为菱形.（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？（1）∵EF∥AB，PM∥AC，∴四边形AEPM为平行四边形.∵AB=AC，AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，AD⊥BC.又∵∠BAD=∠EPA，∴∠CAD=∠EPA，∴EA=EP.∴四边形AEPM为菱形.解析则11=22AEPMEFBMSEPEN=EFEN=S.菱形四形边··N.1=2AEPMEFBMSS菱形四形边（2）P为EF中点时，∵四边形AEPM为菱形，∴AD⊥EM，∵AD⊥BC，∴EM∥BC.又∵EF∥AB，∴四边形EFBM为平行四边形.作EN⊥AB于N，中考试题例3如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论.四边形PQMN为菱形.连结AC，BD.∵PQ为△ABC的中位线，∴同理∴∴四边形PQMN为平行四边形.在△AEC和△DEB中，AE=DE，EC=EB，∠AEC=∠DEB=180°-60°=120°，∴△AEC△DEB.∴AC=DB.∴PQ=PN.∴□PQMN为菱形.证明1=2PQAC.∥1=2MNAC.∥=MNPQ.∥结束