第二课时/数列的性质和递推公式课标要求学法指导1.了解数列递推公式的概念;知道递推公式是给出数列的一种方法.2.能根据数列的递推公式写出数列.3.能根据数列的通项公式研究数列的单调性,会求数列中的最大(小)项.4.了解数列的周期性,能解决相关的简单问题.1.数列的递推公式是给出数列的另一重要形式.一般只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系,就可以依次求出数列的各项.2.由于数列可以看作是一类特殊的函数,因此许多函数的性质可以应用到数列中,例如,数列的单调性、数列的最值、数列的周期性都可以类比函数的性质.新课导入知识探究题型探究达标检测新课导入——实例引领思维激活实例:(1)有一个小型会议室,共15排,第一排有7个座位,从第二排起,后一排都比前一排多2个座位(如图),那么各排的座位数依次为:7,9,11,13,15,….(2)有一只小猴子到桃园里摘了62个桃子.第一天,小猴子吃掉了桃子的一半,感觉不过瘾,又吃了一个;第二天,小猴子又吃掉了所剩桃子的一半,然后又多吃一个;第三天仍然这样,依此下去,那么每一天小猴子所剩桃子的个数依次为:30,14,6,2,0.想一想实例中,每个数列的相邻两项(或三项)之间具有什么关系?(对于(1)有:an+1=an+2(n∈N*),对于(2)有:an+1=12an-1(n∈N*))知识探究——自主梳理思考辨析1.数列的函数性质(1)数列可以看成以(或它的有限子集)为定义域的函数an=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.(2)在数列{an}中,若an+1an,则{an}是递增数列;若an+1an,则{an}为递减数列;若an+1=an,则{an}为常数列.2.数列的递推公式如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)(n≥2,n∈N*)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.正整数集N*{1,2,…,n}<>思考:数列的通项公式与递推公式有什么区别?提示:通项公式直接反映an和n之间的关系,即an是n的函数,知道任意一个具体的n值,通过通项公式就可以求出该项的值an;而递推公式则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,不能由n直接得出an.题型探究——典例剖析举一反三题型一由数列的通项公式研究数列的单调性【例1】(12分)已知数列{an}的通项公式是an=21nn,试判断数列{an}的单调性.解:法一因为an=21nn,所以an+1=12(1)1nn=123nn,……………………………………………………2分于是an+1-an=123nn-21nn=(1)(21)(23)(21)(23)nnnnnn=1(21)(23)nn,……6分因为n∈N*,所以(2n+1)(2n+3)>0,……………………………………………………………8分因此1(21)(23)nn>0,…………………………………………………………10分即an+1>an,故{an}是递增数列.……………………………………………………12分法二因为an=21nn,所以an+1=12(1)1nn=123nn,…………………………………………2分于是1nnaa=123nn×21nn=2223123nnnn=1+2123nn,………………………………………………6分因为n∈N*,所以2123nn>0,…………………………………………………………8分因此1+2123nn>1,即1nnaa>1,…………………………………………10分又an>0,所以an+1>an,即{an}是递增数列.………………………………………12分题后反思根据函数单调性的定义,采用作差法或作商法比较an与an+1的大小关系,从而判断数列的单调性,若an+1>an恒成立,则{an}是递增数列;若an+1
0,∴an+1
