一元二次方程根与系数的关系 VIP免费

2.4一元二次方程的根与系数的关系1.填表方程x1,,x2x1+x2x1.x2①x2-3x+2=0②X2-2x-3=0③X2-5x+4=0问题：你发现这些一元二次方程的根与系数有什么规律？当二次项系数为1时x2+px+q=0的两根为x1,,x2则有qPxxxx2121.2,132-1,32-31,454方程x1x2xx21xx21.01692xx01432xx02732xx31313291311343131-237322、填表说一说，你又有什么发现？猜想：猜想：如果一元二次方程如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a=0）的两根为x1、x2，则x1.x2与系数a，b，c的关系：042acbabxx21acxx21x1+x2=-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2ax1x2=-b+b2-4ac2a-b-b2-4ac2ax2=-b-b2-4ac2a=-2b2a=(-b+b2-4ac)(-b-b2-4ac)4a2=4ac4a2=b2-(b2-4ac)4a2=caab任意的一元二次方程任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0,）的x1+x2，x1.x2与系数a，b，c的关系是：x1+x2=-—x1.x2=—aabbaacc042acb一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为韦达定理.（1）x2-3x+1=0（2）3x2-2x=2（3）2x2+3x=0（4）3x2=1下列方程两根的和与两根的积各是多少?（不解方程）例例11、、设x1.x2是方程5x2-7x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。（1）x12+x22（2）（x1+1）（x2+1）（3）—+—（4）—+—（5）x12x2+x1x22（6）（x1-x2）2x1x2x1x21x2x11（7）x13x2＋x1x23变式：已知长方形的相邻两边长是一个一元二次方程x2-12x+9=0的两个根，求这个长方形的周长与面积。例例2.2.已知方程已知方程22x2+kx-4=0的一个根是-4，求它的另一个根及k的值。答：方程的另一个根是k的值是7。解:设方程的另一根为了,则x22442422xxk7212kx21练习：（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是－2，求它的另一个根及n的值。（2）若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－2，求它的另一个根及k的值。利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为2和3.例例3.3.已知一个一元二次方程已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是，1。写出这个方程。31练习：练习：已知一个一元二次方程已知一个一元二次方程的二次项系数是2，常数项是-14，它的一个根是-7。写出这个方程。思考题：在解方程+px+q=0时，甲同学看错了p，解得方程根为1与-3；乙同学看错了q，解得方程的根为4与-2，你认为方程中的p=，q=。2x2x例题4：设x1，x2是方程2x2－3x＋m＝0的两个根，且8x1－2x2＝7，求m的值。例题5：已知关于x的一元二次方程x2＋（2k+1）x＋k2-2＝0有两个不相等的实数根，且方程的两根的平方和比两根之积的3倍少10，求k的值。1、以方程X2+3X+2=0的两个根的相反数为根的方程是（）A、y2+3y-2=0B、y2－3y+2=0C、y2+3y+2=0D、y2－3y-2=0此题还有其他解法吗？B换元法：设y=-x，则x=-y，将其代入X2+3X+2=0，得y2－3y+2=0，即为所求方程。拓展提升：1、一元二次方程的一般形式。ax2＋bx＋c=0(a≠0)abac（1）a≠0（2）△≥02、若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1、x2，则x1＋x2＝，x1x2＝。3、用根与系数关系解题的条件是。小结：