星期五(函数与导数问题)2017年____月____日已知函数f(x)＝ex，g(x)＝x－b，b∈R.(1)若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，求b的值；(2)设T(x)＝f(x)＋ag(x)，a∈R，求函数T(x)的单调增区间；(3)设h(x)＝|g(x)|·f(x)，b＜1.若存在x1，x2∈[0，1]，使|h(x1)－h(x2)|＞1成立，求b的取值范围.解(1)设切点为(t，et)，因为函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，所以et＝1，且et＝t－b，解得b＝－1.(2)T(x)＝ex＋a(x－b)，T′(x)＝ex＋a.当a≥0时，T′(x)＞0恒成立.当a＜0时，由T′(x)＞0得x＞ln(－a).所以，当a≥0时，函数T(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a＜0时，函数T(x)的单调增区间为(ln(－a)，＋∞).(3)h(x)＝|g(x)|·f(x)＝当x＞b时，h′(x)＝(x－b＋1)ex＞0，所以h(x)在(b，＋∞)上为增函数；当x＜b时，h′(x)＝－(x－b＋1)ex，因为b－1＜x＜b时，h′(x)＝－(x－b＋1)ex＜0，所以h(x)在(b－1，b)上是减函数；因为x＜b－1时，h′(x)＝－(x－b＋1)ex＞0，所以h(x)在(－∞，b－1)上是增函数.①当b≤0时，h(x)在(0，1)上为增函数，所以h(x)max＝h(1)＝(1－b)e，h(x)min＝h(0)＝－b.由h(x)max－h(x)min＞1得b＜1，所以b≤0；②当0＜b＜时，因为b＜x＜1时，h′(x)＝(x－b＋1)ex＞0，所以h(x)在(b，1)上是增函数，因为0＜x＜b时，h′(x)＝－(x－b＋1)ex＜0，所以h(x)在(0，b)上是减函数，所以h(x)max＝h(1)＝(1－b)e，h(x)min＝h(b)＝0.由h(x)max－h(x)min＞1得b＜.因为0＜b＜，所以0＜b＜；③当≤b＜1时，同理可得h(x)在(0，b)上是减函数，在(b，1)上是增函数，所以h(x)max＝h(0)＝b，h(x)min＝h(b)＝0.因为b＜1，所以h(x)max－h(x)min＞1不成立.综上所述，b的取值范围为.
