创新设计（江苏专用）高考数学二轮复习 上篇 专题整合突破 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线的基本问题练习 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题五解析几何第2讲圆锥曲线的基本问题练习理一、填空题1.(2016·泰州模拟)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1的实轴长为________.解析由双曲线方程可得a＝，则实轴长为2a＝2.答案22.(2016·苏、锡、常、镇、宿调研)在平面直角坐标系xOy中，已知方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围为________.解析由题意可得(4－m)(2＋m)＞0，解得－2＜m＜4.答案(－2，4)3.(2016·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若曲线C经过点P(1，3)，则其焦点到准线的距离为________.解析设抛物线C的标准方程为y2＝2px(p＞0)，代入点P(1，3)得9＝2p，则y2＝9x的焦点到准线的距离为p＝.答案4.(2010·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标是3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________.解析法一x＝3代入－＝1，y＝±，不妨设M(3，)，右焦点F(4，0).∴MF＝＝4.法二由双曲线第二定义知，M到右焦点F的距离与M到右准线x＝＝1的距离比为离心率e＝＝2，∴＝2，MF＝4.答案45.(2015·天津卷改编)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为________.解析由题意可得＝，c＝，又c2＝7＝a2＋b2，解得a2＝4，b2＝3.故双曲线方程为－＝1.答案－＝16.(2016·全国Ⅰ卷改编)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为________.解析法一不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c，0)，b＞0，c＞0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，解得b2＝3c2，又b2＝a2－c2，所以＝，即e2＝，所以e＝(e＝－舍去).法二不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c，0)，b＞0，c＞0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，所以＝×2b，所以e＝＝.答案7.(2015·江苏五市模拟)已知椭圆＋＝1(0＜m＜9)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆与A，B两点，若AF2＋BF2的最大值为10，则m的值为________.解析已知椭圆＋＝1(0＜m＜9)中，a2＝9，b2＝m.AF2＋BF2＝4a－AB≤10，∴AB≥2，ABmin＝＝＝2，解得m＝3.答案38.(2015·福建卷改编)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若AF＋BF＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是________.解析左焦点F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形. AF＋BF＝4，∴AF＋AF0＝4，∴a＝2.设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2.离心率e＝＝＝＝∈.答案二、解答题9.(2016·南通调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)过点A(2，1)，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程.解(1)由条件知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝＝，所以b2＝a2－c2＝a2.又点A(2，1)在椭圆＋＝1(a＞b＞0)上，所以＋＝1，解得所以所求椭圆的方程为＋＝1.(2)将y＝kx＋m(k≠0)代入椭圆方程，得x2＋4(kx＋m)2－8＝0，整理得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－8＝0.①由线段BC被y轴平分，得xB＋xC＝－＝0，因为k≠0，所以m＝0.因为当m＝0时，B，C关于原点对称，设B(x，kx)，C(－x，－kx)，由①得x2＝，又因为AB⊥AC，A(2，1)，所以AB·AC＝(x－2)(－x－2)＋(kx－1)(－kx－1)＝5－(1＋k2)x2＝5－＝0，所以k＝±.由于当k＝时，直线y＝x过点A(2，1)，故k＝不符合题意，舍去.所以此时直线l的方程为y＝－x.10.(2015·安徽卷)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足BM＝2MA，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.解(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，从而＝，进而得a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为＋＝1，点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，从而有解得b...