专题七附加题（选做部分）第2讲矩阵与变换练习理1.(2014·江苏卷)已知矩阵A＝，B＝，向量α＝，x，y为实数.若Aα＝Bα，求x＋y的值.解由已知，得Aα＝＝，Bα＝＝.因为Aα＝Bα，所以＝，故解得所以x＋y＝.2.(2010·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，0)，B(－2，0)，C(－2，1).设k为非零实数，矩阵M＝，N＝，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值.解由题设得，MN＝＝，由＝，可知A1(0，0)、B1(0，－2)、C1(k，－2).计算得△ABC的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，则由题设知：|k|＝2×1＝2.所以k的值为2或－2.3.(2011·江苏卷)已知矩阵A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.解A2＝＝，设α＝，由A2α＝β得，＝，从而解得所以α＝.4.(2012·江苏卷)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝，求矩阵A的特征值.解因为A－1A＝E，所以A＝(A－1)－1.因为A－1＝，所以A＝(A－1)－1＝，于是矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.5.(2013·江苏卷)已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.解设矩阵A的逆矩阵为，则＝，即＝，故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，从而A的逆矩阵为A－1＝，所以A－1B＝＝.6.(2016·苏州调研)已知二阶矩阵M有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1，2)变换成(9，15)，求矩阵M.解设M＝，则＝3＝，故＝，故联立以上两方程组，解得a＝－1，b＝4，c＝－3，d＝6，故M＝.1
