第5讲数列的综合应用基础巩固1.现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为()A.9B.10C.19D.29【答案】B【解析】 <200,而满足<200的最大的n=19,当n=19时,=190,∴200-190=10.2.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表,设aij(i,j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数,如a42=8,若aij=2009,则i与j的和为()A.105B.106C.107D.108【答案】C【解析】由数表知,第一行1个奇数,第3行3个奇数,第5行5个奇数,第61行61个奇数,前61行用去1+3+5+…+61==961个奇数.而2009是第1005个奇数,故应是第63行第44个数,即i+j=63+44=107.3.某林厂年初有森林木材存量Sm3,木材以每年25%的增长率生长,而每年末要砍伐固定的木材量xm3,为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%,则x的值是()A.B.C.D.【答案】C【解析】一次砍伐后木材的存量为S(1+25%)-x;二次砍伐后木材的存量为[S(1+25%)-x](1+25%)-x.由题意知S-x-x=S(1+50%),解得x=.4.某纯净水厂在净化过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质的20%,要使水中杂质减少到原来的5%以下,则至少需过滤的次数为(lg2≈0.3010)()A.5B.10C.14D.15【答案】C【解析】设原杂质数为1,则各次过滤杂质数成等比数列,且a1=1,公比q=1-20%,因此an+1=(1-20%)n;由题意可知(1-20%)n<5%,即0.8n<0.05.两边取对数得nlg0.8,即n>==≈≈13.41.又n为过滤次数,故取n=14.15.“嫦娥奔月,举国欢庆”,据科学计算,运载“神八”的“长征”系列火箭,在点火第一秒钟通过的路程为2km,以后每秒钟通过的路程都增加2km,在到达离地面240km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程需要的时间大约是()A.10秒钟B.13秒钟C.15秒钟D.20秒钟【答案】C【解析】设每一秒钟通过的路程依次为a1,a2,a3,…,an,则数列{an}是首项为a1=2,公差为d=2的等差数列,由求和公式得na1+=240,即2n+n(n-1)=240,解得n=15.故选C.6.一梯形的上、下底长分别是12cm,22cm,若将梯形的一腰10等分,过每一个分点作平行于底边的直线,则这些直线夹在两腰之间的线段的长度的和等于.【答案】153cm【解析】由题意知过分点所作的线段由上往下构成等差数列,记为{an},则a1=13cm,d=1cm,所求为{an}的前9项之和,即S9=9a1+×1=117+36=153cm.7.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第1名得全部资金的一半多一万元,第二名得剩下的一半多一万元,以名次类推都得到剩下的一半多一万元,到第10名恰好资金分完,则此科研单位共拿出万元资金进行奖励.【答案】2046【解析】设第10名到第1名得的奖金数分别是a1,a2,…,a10,则an=Sn+1,a1=2,an-an-1=an,即an=2an-1,因此每人得的奖金额组成以2为首项,2为公比的等比数列,所以S10==2046.8.从盛满a升酒精的容器里倒出b升,然后再用水加满,再倒出b升,再用水加满,这样倒了n次,则容器中有纯酒精升.【答案】a【解析】第一次容器中有纯酒精a-b,即a升,第二次有纯酒精a-b,即a升,故第n次有纯酒精a升.9.(2012·湖北卷,17)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,…记为数列{an},将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}.可以推测:(1)b2012是数列{an}中的第项;(2)b2k-1=(用k表示).【答案】(1)5030(2)【解析】(1)由题意可得,a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,…,a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1=n.以上各式相加,得an-a1=2+3+…+n=,故an=.因此,b1=a4=10,b2=a5=15,b3=a9=45,b4=a10=55,…,由此归纳出b2012=a5030.(2)由b1=a4=,b3=a9=,b5=a14=,…,可归纳出b2k-1=.10.根据下列各个数列{an}的首项和基本关系式,求其通项公式:(1)a1=1,an=an-1+3n-1(n≥2);(2)a1=1,an=an-1(n≥2).【解】(1) an=an-1+3n-1,∴an-1=an-2+3n-2,an-2=an-3+3n-3,2…a2=a1+31.以上n-1个式子相加,得an=a1+31+32+…+3n-1=1+3+32+…+3n-1=.故数列{an}的通项公式为an=.(2) an=an-1(n≥2),∴an-1=an-2,…a2=a1.以上n-1个式子相乘得an=a1···…·==.故数列{an}的通项公式为an=.11.为保护我国的稀土资源,国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨,该矿区计划从2013年开始出口,当年出口a吨,以后每...
