第三章3.13.1.21.已知cosα=,α∈,则sin等于()A.B.-C.D.解析:由α∈,cosα=,得sinα=-,sin=-.答案:B2.已知锐角α、β满足sinα=,cosβ=,则α+β为()A.B.C.或D.2kπ+,k∈Z解析:α、β为锐角,则α+β∈(0,π),cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=,∴α+β=.答案:A3.若tanα=-,tan(α-β)=-,则tanβ的值为()A.B.-C.-D.解析:tanβ=tan[α-(α-β)]==-.答案:C4.已知tanα=,tan(α-β)=-,则tan(β-2α)的值是______.解析:tan(β-2α)=-tan(2α-β)=-tan[(α-β)+α]=-=-=-.答案:-5.若sin(α+β)=,sin(α-β)=,则=________.解析:由sin(α+β)=得,sinαcosβ+cosαsinβ=,①由sin(α-β)=,得sinαcosβ-cosαsinβ=,②由①、②得sinαcosβ=,cosαsinβ=.∴==5.答案:56.已知向量ɑ=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),|ɑ-b|=.(1)求cos(α-β)的值;(2)若0<α<,-<β<0,且sinβ=-,求sinα的值.解:(1)ɑ-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ).|ɑ-b|2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2cos(α-β)=,得cos(α-β)=.(2)∵0<α<,-<β<0,且sinβ=-,∴cosβ=,且0<α-β<π.又∵cos(α-β)=,∴sin(α-β)=.∴sinα=sin(α-β+β)=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)·sinβ=×+×=.1(时间:30分钟满分:60分)知识点及角度难易度及题号基础中档稍难和(差)角的余弦公式2和(差)角的正弦公式34、8和(差)角的正切公式1、56、710和(差)角的正弦、余弦、正切公式的综合应用9一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知tanα=4,tanβ=3,则tan(α+β)=()A.B.-C.D.-答案:B2.若α为锐角,sin=,则cosα的值等于()A.B.C.D.解析:∵α为锐角,sin=,∴cos=,∴cosα=cos=coscos-sin·sin=×-×=.答案:A3.若cosα=-,α是第三象限的角,则sin(α+)=()A.-B.C.-D.解析:∵α是第三象限的角,∴sinα=-,sin=(sinα+cosα)=-.答案:A4.方程sinx+cosx=k在[0,π]上有两个解,则k的取值范围为()A.(-,)B.[-1,]C.[0,]D.[1,]解析:设y1=sinx+cosx===sin,x∈[0,π];y2=k,则方程sinx+cosx=k在[0,π]上有两个解等价于函数y1=sin(x+),x∈[0,π]的图象与直线y2=k有两个交点,结合图象可知1≤k<.故选D.答案:D二、填空题(每小题4分,共12分)5.已知tanα=2,tanβ=3,α、β均为锐角,则α+β的值是________.解析:因为tan(α+β)===-1,又α、β是锐角,0<α+β<π,所以由tan(α+β)=-1得α+β=π.答案:π26.计算:=______.解析:原式====tan(45°-15°)=tan30°=.答案:7.已知α为第三象限的角,cos2α=-,则tan=________.解析:∵α为第三象限角,∴2α∈(2(2k+1)π,π+2(2k+1)π)(k∈Z).又cos2α=-,于是有sin2α=,tan2α==-,所以tan(+2α)==-.答案:-三、解答题8.(10分)已知A、B、C是△ABC的三个内角,且lg(sinA)-lg(sinB)-lg(cosC)=lg2,试判断此三角形的形状.解:由题意知由②得sinA=sin(B+C)=2sinBcosC,∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,∴sinBcosC-cosBsinC=0,∴sin(B-C)=0,∵-π<B-C<π,∴B=C.于是△ABC是等腰三角形.9.(10分)已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),|a-b|=.(1)求cos(α-β)的值;(2)若0<α<,-<β<0,且sinβ=-,求sinα的值.解:(1)∵a=(cosa,sinα),b=(cosβ,sinβ),∴a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ).又∵|a-b|=,∴=,即2-2cos(α-β)=,cos(α-β)=.(2)∵0<α<,-<β<0,∴0<α-β<π.又∵cos(α-β)=,sinβ=-,∴sin(α-β)=,cosβ=,∴sinα=[(α-β)+β]=sin(α-β)·cosβ+cos(α-β)·sinβ=×+×=.10.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α、β,它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点.已知A、B的横坐标分别为、.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.3解:(1)由已知条件及三角函数的定义,可知cosα=,cosβ=,因为α为锐角,故sinα>0.从而sinα==.同理可得sinβ=.因为tanα=7,tanβ=,所以tan(α+β)===-3.(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]==-1.又0<α<,0<β<,故0<α+2β<.从而由tan(α+2β)=-1,得α+2β=.4