【优化指导】高中数学 3-1-2课时演练（含解析）新人教版必修4VIP免费

第三章3.13.1.21．已知cosα＝，α∈，则sin等于()A.B．－C.D.解析：由α∈，cosα＝，得sinα＝－，sin＝－.答案：B2．已知锐角α、β满足sinα＝，cosβ＝，则α＋β为()A.B.C.或D．2kπ＋，k∈Z解析：α、β为锐角，则α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝，∴α＋β＝.答案：A3．若tanα＝－，tan(α－β)＝－，则tanβ的值为()A.B．－C．－D.解析：tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝－.答案：C4．已知tanα＝，tan(α－β)＝－，则tan(β－2α)的值是______．解析：tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan[(α－β)＋α]＝－＝－＝－.答案：－5．若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则＝________.解析：由sin(α＋β)＝得，sinαcosβ＋cosαsinβ＝，①由sin(α－β)＝，得sinαcosβ－cosαsinβ＝，②由①、②得sinαcosβ＝，cosαsinβ＝.∴＝＝5.答案：56．已知向量ɑ＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|ɑ－b|＝.(1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<，－<β<0，且sinβ＝－，求sinα的值．解：(1)ɑ－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)．|ɑ－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2cos(α－β)＝，得cos(α－β)＝.(2)∵0<α<，－<β<0，且sinβ＝－，∴cosβ＝，且0<α－β<π.又∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.∴sinα＝sin(α－β＋β)＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)·sinβ＝×＋×＝.1(时间：30分钟满分：60分)知识点及角度难易度及题号基础中档稍难和(差)角的余弦公式2和(差)角的正弦公式34、8和(差)角的正切公式1、56、710和(差)角的正弦、余弦、正切公式的综合应用9一、选择题(每小题4分，共16分)1．已知tanα＝4，tanβ＝3，则tan(α＋β)＝()A.B．－C.D．－答案：B2．若α为锐角，sin＝，则cosα的值等于()A.B.C.D.解析：∵α为锐角，sin＝，∴cos＝，∴cosα＝cos＝coscos－sin·sin＝×－×＝.答案：A3．若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin(α＋)＝()A．－B.C．－D.解析：∵α是第三象限的角，∴sinα＝－，sin＝(sinα＋cosα)＝－.答案：A4．方程sinx＋cosx＝k在[0，π]上有两个解，则k的取值范围为()A．(－，)B．[－1，]C．[0，]D．[1，]解析：设y1＝sinx＋cosx＝＝＝sin，x∈[0，π]；y2＝k，则方程sinx＋cosx＝k在[0，π]上有两个解等价于函数y1＝sin(x＋)，x∈[0，π]的图象与直线y2＝k有两个交点，结合图象可知1≤k<.故选D.答案：D二、填空题(每小题4分，共12分)5．已知tanα＝2，tanβ＝3，α、β均为锐角，则α＋β的值是________．解析：因为tan(α＋β)＝＝＝－1，又α、β是锐角，0＜α＋β＜π，所以由tan(α＋β)＝－1得α＋β＝π.答案：π26．计算：＝______.解析：原式＝＝＝＝tan(45°－15°)＝tan30°＝.答案：7．已知α为第三象限的角，cos2α＝－，则tan＝________.解析：∵α为第三象限角，∴2α∈(2(2k＋1)π，π＋2(2k＋1)π)(k∈Z)．又cos2α＝－，于是有sin2α＝，tan2α＝＝－，所以tan(＋2α)＝＝－.答案：－三、解答题8．(10分)已知A、B、C是△ABC的三个内角，且lg(sinA)－lg(sinB)－lg(cosC)＝lg2，试判断此三角形的形状．解：由题意知由②得sinA＝sin(B＋C)＝2sinBcosC，∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sinBcosC－cosBsinC＝0，∴sin(B－C)＝0，∵－π＜B－C＜π，∴B＝C.于是△ABC是等腰三角形．9．(10分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝.(1)求cos(α－β)的值；(2)若0＜α＜，－＜β＜0，且sinβ＝－，求sinα的值．解：(1)∵a＝(cosa，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)．又∵|a－b|＝，∴＝，即2－2cos(α－β)＝，cos(α－β)＝.(2)∵0＜α＜，－＜β＜0，∴0＜α－β＜π.又∵cos(α－β)＝，sinβ＝－，∴sin(α－β)＝，cosβ＝，∴sinα＝[(α－β)＋β]＝sin(α－β)·cosβ＋cos(α－β)·sinβ＝×＋×＝.10.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点．已知A、B的横坐标分别为、.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．3解：(1)由已知条件及三角函数的定义，可知cosα＝，cosβ＝，因为α为锐角，故sinα＞0.从而sinα＝＝.同理可得sinβ＝.因为tanα＝7，tanβ＝，所以tan(α＋β)＝＝＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝－1.又0＜α＜，0＜β＜，故0＜α＋2β＜.从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝.4