第6讲向量的内积与正交化VIP专享VIP免费

第6节向量的内积与正交化一向量的内积、长度及向量间的夹角定义内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数。内积也称作点积或点乘，并记作x·y。由于向量又可看作矩阵，借用矩阵记号，向量(列矩阵)x,y的内积又可写成(x,y)=xTy。第一页，共十三页。内积具有下列性质(其中x,y,z为n维向量，k为实数)：(1)(x,y)=(y,x);(2)(kx,y)=k(x,y);(3)(x+y,z)=(x,z)+(y,z);(4)(x,x)≥0，当且仅当x=0时,(x,x)=0。内积还满足施瓦茨(Schwarz)不等式第二页，共十三页。定义：定义向量的长度(范数,模)为向量的长度具有下述性质：(1)非负性：当x≠0时，||x||>0；当x=0时，||x||=0；(2)齐次性：||kx||=|k|||x||；(3)施瓦茨不等式：|(x,y)|≤||x||||y||；(4)三角不等式：||x+y||≤||x||+||y||。第三页，共十三页。在二、三维空间中有向量夹角的概念，在更高维的向量空间中，夹角并没有直观的含义。但由施瓦茨不等式，当x≠0,y≠0时，有称该角度为非零向量x与y的夹角。当(x,y)=0时，x与y的夹角为,此时称向量x与y正交，记为。由于零向量与任意同维向量的内积为0，所以规定零向量与任意同维向量正交。第四页，共十三页。二正交的向量组及向量组的正交化若一组向量两两正交，且不含0向量，则称该向量组为正交向量组。定理：正交的向量组必线性无关。第五页，共十三页。例：第六页，共十三页。在n维向量空间中可以找到n个两两正交的向量。这是因为1)对任意的有非零解，从而任取一非零解作为则正交；2)又因方程组亦有非零解，从而可确定与正交的；3)……如此下去进一步确定出，即得n个两两正交的非零向量组。第七页，共十三页。若现已有线性无关的向量组，也可以构建一个与之等价的且两两正交的向量组：以上过程称为施密特(Schimidt)正交化过程。进一步，可将单位化（规范化），对施密特正交化过程，应注意向量组与向量组等价，其中t=1,…,r第八页，共十三页。例：＝＝第九页，共十三页。例：第十页，共十三页。可得：定理：方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单位向量，且两两正交。三正交矩阵与正交变换定义：如果n阶矩阵A满足ATA=E则称A为正交矩阵，简称正交阵。对正交阵A按列自然分块，则有第十一页，共十三页。正交矩阵有如下性质：1)若A为正交矩阵，则|A|=1或|A|=-1；2)A为正交矩阵，则AT=A-1也为正交矩阵；3)若A，B为同阶正交矩阵，则AB也为正交矩阵。定义：若P为正交矩阵，则线性变换y=Px称为正交变换。性质：正交变换保持线段长度不变。设y=Px为正交变换，则有由于任意两点的距离均不变，从而正交变换不改变图形的形状，这是正交变换的优良特性。第十二页，共十三页。内容总结第6节向量的内积与正交化。定义：定义向量的长度(范数,模)为。(2)齐次性：||kx||=|k|||x||。对任意的有非零解，从而任取一非零解作为。则正交。进一步，可将单位化（规范化），第十三页，共十三页。