智慧课堂—函数的奇偶性【目标】结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性的概念，会判断奇偶性，重点解决综合利用函数的性质解决有关问题．基础梳理1．奇、偶函数的概念(1)设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且，则这个函数叫做奇函数．(2)设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且，则这个函数叫做偶函数．(3)奇函数的图象关于对称；偶函数的图象关于对称．f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)原点y轴2．判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：(1)考查定义域是否关于原点对称．(2)考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)；若f(－x)＝，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数．即非奇非偶函数．－f(x)f(x)一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称．两个性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．•课堂探究•探究点一函数奇偶性的判定•[方法总结](1)首先考虑定义域是否关于原点对称，再根据f(－x)＝±f(x)判断，有时需要先将函数进行化简．•(2)在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．•探究点二利用奇偶性求解析式•方法总结：•先算f(-x),再利用奇偶性，转化为f(x)•探究点三利用奇偶性图像特征求解•方法总结：(1)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．(2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．•探究点四函数单调性与奇偶性的综合应用方法总结：利用奇偶性,出现f(M)＜f(N)的形式，再结合单调性转化为M＜N或M＞N的形式求解．•数学思想渗透转化与化归思想的应用函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．数学解题的过程就是一个转换的过程．解题质量的高低，取决于每步等价转换的规范程度．如果每一步等价转换都是正确的、规范的，那么这个解题过程就一定是规范的．1．正确理解奇函数和偶函数的定义，f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔f－xfx＝±1(f(x)≠0)．方法与技巧思想方法·感悟提高1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．2．判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)．对于偶函数的判断以此类推．思想方法·感悟提高失误与防范3．分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性.
