3.4.1相似三角形的判定第1课时相似三角形判定的基本定理探究在八年级上册，我们已经探讨了两个三角形全等的条件，下面我们来探讨两个三角形相似的条件.为了研究满足什么条件的两个三角形相似，我们先来探究下述问题.动脑筋如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.（1）△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？（2）分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？（3）△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？我发现只要DE∥BC，那么△ADE与△ABC是相似的.我发现只要DE∥BC，那么△ADE与△ABC是相似的.下面我们来证明：在△ADE与△ABC中，∠A=∠A.∵DEBC∥，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∵DEBC∥，DFAC∥，如图，过点D作DFAC∥，交BC于点F.∴,.ADAEADCFABACABCB∵四边形DFCE为平行四边形，∴DE=FC.∴.ADAEDEABACBC∴△ADE∽△ABC结论由此得到如下结论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.例题例题例1如图，在△ABC中，已知D，E分别是AB，AC边的中点.求证：△ADE∽△ABC.证明∵点D，E分别是AB，AC边的中点，∴DE∥BC.∴△ADE∽△ABC.例题例题例2如图，点D为△ABC的边AB的中点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E.延长DE至点F，使DE=EF.求证：△CFE∽△ABC.证明∵DE∥BC，点D为△ABC的边AB的中点，∴AE=CE.∴△ADE∽△ABC.又DE=FE，∠AED=∠CEF，∴△ADE≌△CEF.∵DE∥BC，∴△CFE∽△ABC.跟踪练习跟踪练习1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.正方形EFCD的三个顶点E，F，D分别在边AB，BC，AC上.已知AC=7.5，BC=5，求正方形的边长.解：∵四边形EFCD是正方形，∴EDBC,ED=DC=FC=EF.∥AEDABC.ADEDACBC=.7.57.55ACDCEDDCDCACBC=,即=.3DE，即正方形的边长为3.跟踪练习跟踪练习2.如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，OE∥BC，OF∥CD.试判断四边形AEOF与四边形ABCD是否相似，并说明理由.解：∵OE∥BC，OF∥CD，∴∠AEO=ABC,AOE=ACB,AOF=ACD,AFO∠∠∠∠∠∠=ADC.∠∴∠AOE+AOF=ACB+ACD,∠∠∠即∠EOF=BCD.∠又∵OE∥BC，OF∥CD，∴△AOE~ACB,AOF~ACD.△△AEEDAOOFADABBCACCDDC====.∴四边形AEOF与四边形ABCD相似.
