在问题中成长——髙中数学“直线与双曲线的位置关系”教学案例一、教学设计背景1、课标内容与要求:“双曲线”是高中数学《圆锥曲线与方程》中的重要内容.教材安排了两节内容：双曲线及其标准方程和双曲线的几何性质.要求学生了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质，能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题.2、教学进行时:学生在学习了双曲线及其标准方程和双曲线的几何性质的基础上，作为双曲线方程的应用之一进行本节课的学习.这节课的学习，一方面可以巩固学生知识网络中已构建的对圆，椭圆与直线位置关系的认知，使学生对直线与双曲线的位置关系的认识从定性上升到定量，为下面抛物线的学习以及对四种圆锥曲线辨证统一的理解在认识上和方法上打下基础.另一方面，可以进一步加深用代数方程研究曲线性质的“以数论形，数形结合”的数学思想方法，对解析几何教学思想的认识有着重大的影响.二、教学设计思路1、设计重点:直线与双曲线的几种位置关系的认识，利用方程讨论直线与双曲线的位置关系的基本方法.2、难点突破:对直线与双曲线位置关系的认识上的“数形统一”，对渐近线的“无限趋近”意义的认识，用运动的观点，数形对应转化的思想理解及解决相关问题.3、教学方法：采用问题教学法，以问题思考为向导，以问题解决为目标，灵活创设情景，引导学生主体参与，自主探索，逐步深入，主动“创造”知识，动态生成概念，有效提升能力．三、教学目标1、知识与技能掌握直线与双曲线的几种位置关系；能利用方程讨论直线与双曲线的位置关系；能解决与直线有关的双曲线的一些综合问题.2、过程与方法使学生进一步熟练用代数方法（坐标，方程）讨论图形性质的能力；培养学生运用对应转化，数形结合，运动变化等观点和数学思想方法获取数学知识，分析问题和解决问题的实践能力.通过与圆，椭圆知识的类比联系，提高知识间纵横迁移的视角转换能力.3、情感、态度与价值观通过学生主体参与，培养自主学习的内在发展能力，体验获取数学知识的成功感；通过观察，联想，猜测，归纳等合情推理，激发学生勇于探索敢于创新的精神；通过知识的纵横迁移感受数学的系统特征，辨证特征；通过师生，生生的交互讨论，共同探索，培养合作学习，提高数学交流表达能力.四、教学过程实录（一）创设情境，引入课题1、导言：前面我们学习了双曲线的定义，标准方程和几何性质，今天我们要继续研究双曲线，研究“直线与双曲线的位置关系”.2、提出问题：问题1：直线与双曲线有那些不同的位置关系？根据什么特征加以区分？生：有三种位置关系：相交，相切，相离.可以根据它们公共点的个数来区分.问题2：直线与双曲线的公共点个数可能有几个？各对应什么位置关系？学生由观察图象得出三种位置关系，但对相交时公共点的个数不少同学认为最多有4个，也有可能是3个，2个；对有1个公共点，普遍认为是相切.【设计意图】问题出在学生思维水平的最近发展区，打破已有的认知平衡，引发认知冲突，激发起学生构建认知结构的主动性和迫切性．以问题1作为教学活动的开端，使学生初步了解这节课的教学任务，无论是操作层面或思维层面上，作好迎接挑战的准备.问题2让学生面临一个似曾相识，已有一些感性认识，但理性认识欠缺的问题，而由观察产生的偏差所引发的不同认识，更容易激发起学生的好奇心，好胜心和进一步探索的兴趣，形成一个欲罢不能的追求目标.针对这种情形，教师没有给出确定答案，而是以类化式问题引导学生回忆前面学过的知识及研究方式，构建数学知识点间的比较，同时使新知识类化到知识网络的恰当位置，重建与改组知识网络.问题3：除了观察公共点的个数，有没有其他判定方法？在研究圆，椭圆与直线的位置关系时，我们是如何进行判定的？生：可以由方程组的解的个数确定，具体可用d法或判别式法.【设计意图】直观的“形”—公共点个数与“数”—方程组的解的个数的对应，为“依形判数”与“就数论形”的相互转化奠定了基础，使学生初步领略了数形结合这一解析几何的基本思想方法的作用，为下面的进一步研究提供了方法的依据.（二）自主探究，构...
