2011年普通高等学校招生全国统一考试天津卷（理科）第Ⅰ卷本卷共8小题，每小题5分，共40分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．是虚数单位,复数()．A．B．C．D．【解】．故选Ｂ．2．设，则“且”是“”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解】因为且，则且，因而，所以“且”是“”的充分条件，取，则满足，但不满足且，所以“且”不是“”的必要条件．因此“且”是“”的充分而不必要条件．故选Ａ．3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为()．A．B．C．D．【解】运算过程依次为：当时，，当时，，当时，，当时，．所以输出的．故选Ｂ．4．已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，，则的值为()．A．B．C．D．【解】因为等差数列的公差为，则，，，1因为是与的等比中项，所以，即，，所以，．于是．故选Ｄ．5．在的二项展开式中，的系数为()．A．B．C．D．【解】，令，则．．所以，的系数，故选Ｃ．6．如图，在中，是边上的点，且，，，则的值为()．A．B．C．D．【解】解法１．取的中点，因为，所以，因为，．所以，于是．在中，由正弦定理得，即，所以．故选Ｄ．2CBDAECBDA解法2．设，由题设，．在中，由余弦定理得，所以．在中，由正弦定理得，即，所以．故选Ｄ．7．，，，则()．A．B．C．D．【解】解法1．，下面比较，和的大小．因为，，，则最小．，因为，，所以，因此．所以，因而．由于函数是上的增函数，所以．故选Ｃ．解法2．，3下面比较，和的大小．因为，，，则最小．因为，所以，因而．由于函数是上的增函数，所以．故选Ｃ．解法3．由解法2，,画出函数和的图象,比较的纵坐标，可得，于是．因而．由于函数是上的增函数，所以．故选Ｃ．8．对实数和，定义运算“”：设函数，．若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是()．A．B．C．D．【解】由题设画出函数的图象，函数图象的四个端点（如图）为，，，，从图象中可以看出，直线穿过点，点之间时，直线与图象有且只有两个公共点，同时，直线穿过点及4其下方时，直线与图象有且只有两个公共点，所以实数的取值范围是．故选Ｂ．第Ⅱ卷二、填空题：本答题共6小题，每小题5分,共30分．9．一支田径队有男运动员人，女运动员人．若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为的样本，则抽取男运动员的人数为．【解】．抽取男运动员的人数为（人）．10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：），则该几何体的体积为．【解】．几何体是由一个长方体与一个圆锥组合的．体积为．11．已知抛物线的参数方程为(为参数）．若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与圆相切，则．【解】．抛物线的普通方程为，其焦点为．直线方程为．因为直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即．12．如图，已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点，且，，若与圆相切，则线段的长为．【解】．因为，所以设，，．由相交弦定理，，5俯视图侧视图正视图122333FEDCBA所以，，．因为与圆相切，由切割线定理，．所以．13．已知集合，，则集合．【解】．解集合．当时，不等式化为，解得．所以解为；当时，不等式化为，即．所以解为；当时，不等式化为，解得，所以解为．综合以上，．解集合．因为，所以，所以，因而．14．已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为．【解】．解法1．以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图的直角坐标系．由题设，，设，，则．，．．，当且仅当时，等号成立，于是，当时，有最小值．解法2．以相互垂直的向量，为基底表示，得．又是腰上的动点，即与共线，于是可设，6yxPDCBA有．所以即．由于是腰上的动点，显然当，即时，所以有最小值．解法3．如图，，设为的中点，为的中点，则，，①因为，．则．②（实际上，就是定理：“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和”）设为的中点，则为梯形的中位线，．设为的中点，且设，则，，，代入式②得，于是，于是，当且仅当时，等号成立．由式①，，所以有最小值．三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应...
