圆学子梦想铸金字品牌温馨提示：此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。考点31直接证明与间接证明1.（2013·北京高考理科·Ｔ20）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项，…的最小值记为Bn，dn=An－Bn．(1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d为非负整数，证明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列；(3)证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3…)，则{an}的项只能是1或2，且有无穷多项为1【解题指南】(1)根据{dn}的定义求.(2)充分性:先证明{an}是不减数列,再利用定义求dn;必要性:先证明{an}是不减数列,再利用定义证明等差.(3)可通过取特殊值和反证法进行证明.【解析】（1），，，。（2）充分性：若为公差为的等差数列，则.因为是非负整数，所以是常数列或递增数列.，，(n=1,2,3,…).必要性：1圆学子梦想铸金字品牌若，假设是第一个使得的项，则，，，这与矛盾.所以是不减数列.，即，是公差为的等差数列.（3）①首先中的项不能是0，否则，与已知矛盾.②中的项不能超过2，用反证法证明如下：若中有超过2的项，设是第一个大于2的项，中一定存在项为1，否则与矛盾.当时，，否则与矛盾.因此存在最大的i在2到k-1之间，使得，此时，矛盾.综上中没有超过2的项.综合①②，中的项只能是1或2.下面证明1有无数个，用反证法证明如下：若为最后一个1，则，矛盾.因此1有无数个.2.（2013·北京高考文科·Ｔ20）给定数列a1，a2，…，an。对i=1，2，…n-l，该数列前i2圆学子梦想铸金字品牌项的最大值记为Ai，后n-i项ai+1，ai+2，…，an的最小值记为Bi，di=Ai-Bi.（1）设数列{an}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值.（2）设a1，a2，…，an（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0.证明：d1，d2，…dn-1是等比数列。（3）设d1，d2，…dn-1是公差大于0的等差数列，且d1＞0，证明：a1，a2，…，an-1是等差数列。【解题指南】(1)利用di的公式,求d1,d2,d3的值.(2)先求出{dn}的通项,再利用等比数列的定义证明{dn}是等比数列.(3)先证明{an}是单调递增数列,再证明an是数列{an}的最小项,最后证明{an}是等差数列.【解析】（1），，。（2）由是公比大于1的等比数列，且a1＞0，可得的通项为且为单调递增数列。于是当时，为定值。因此d1，d2，…dn-1构成首项，公比的等比数列。（3）若d1,d2,…,dn-1是公差大于0的等差数列,则00矛盾.因而k≥2,此时考虑dk-1=Ak-1-Bk-1=ak-1-ak<0,矛盾.因此,an为数列{an}中的最小项.综上,dk=Ak-Bk=ak-an(k=1,2,…,n-1),于是ak=dk+an,从而a1,a2,…,an-1是等差数列.3圆学子梦想铸金字品牌关闭Word文档返回原板块。4
