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f(x)>0在xG[a,卩]上恒成立oa<-—P2a、f(P)>0(2)当a<0时,f(x)<0在xG[a,卩]上恒成立of(a)<0f(P)<0f(x)>0在xG[a,卩]上恒成立of(a)>0f(P)>0f(x)<0在xG[a,卩]上恒成立oa<-—p2a专题课含参不等式恒成立问题参数取值范围求解策略知识梳理：“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来,其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。(一)、判别式法:•若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。【类型1】：一般地，对于二次函数f(x)二ax2+bx+c(a丰0,xGR)，有(1)f(x)>0对xGR恒成立>0IA<0(2)f(x)<0对xGR恒成立<0IA<0【类型2】：设f(x)=ax2+bx+c(a丰0)(1)当a>0时,2/7例1.已知函数y二lg［(a-1)x2+(a-1)x+1］的定义域为R,求实数a的取值范围。例2.一元二次不等式x2+bx+2<0在11,2］上恒成立，求实数b的取值范围。［答案b<-3］(二)、最值法：•将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：(1)f(x)>a恒成立oaf(x)max例3.已知f(x)二7x2-28x-a,g(x)二2x3+4x2-40x,当xe［-3,3］时，f(x)0恒成立，求x实数a的取值范围。答案:a>-3(三)、分离变量法：(参变分离法)•若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：(1)f(x)f(x)max(2)f(x)>g(a)(a为参数)恒成立og(a)0在xe[1,+^)时恒成立，只要a>一x2一2x在xe[1,+^)时恒成立。而易求得二次函数h(x)=-x2-2x在[1,+刈上的最大值为—3，所以a>-3。例5.已知函数f(x)二ax-p4x—x2,xe(0,4]时f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围。[答案:(-DO)]4/7注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。f(x)>0恒成立of(m)>0f(n)>0f(x)<恒成立of(m)<0f(n)<0所以只f(—2)<0f⑵<05/7(四)变换主元法：•处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例6、若不等式2x-1>m(x2-1)对满足—20恒成立，求x的取值范围。分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式(x-2)a+x2-4x+4>0在ae[—1,1]上恒成立的问题。解：令f(a)二(x-2)a+x2-4x+4，则原问题转化为f(a)>0恒成立(ae[—1,1])。当x二2时,可得f(a)=0，不合题意。当x丰2时，ff(1)>0卡应有\解之得x<1或x>31f(—1)>0故x的取值范围为(—8,1)U(3,+8)反思：对于一次函数f(x)=kx+b,xe[m,n],(k丰0)有:1、求使不等式>smx-cosx,x-兀小兀4'(°迈)恒成立的实数a的范围。6/7(五)数形结合法：•数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1)f(x)>g(x)o函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方；2)f(x)

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