业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随1y2)—iPiP2i=f(t_x2)2+(人_y2)2=f(k)=\：1y1-y21（k为直线斜率）形式（利用或者IAB\=x1一x2)2+()；1-y2)2=11(卫-二)2+(人-y2)2=(1+扣Jy2)21(1+RO+叮2一4現y2]-直线与椭圆教师版知识与归纳：1..点与椭圆的位置关系x2y2x2y2x2y2点P（x0，y0）在椭圆一+—=1内部的充要条件是一^+0<1;在椭圆外部的充要条件是亠+0>1;00a2b2a2b2a2b2x2y2在椭圆上的充要条件是亠+亠=1.a2b22.直线与椭圆的位置关系.x2y2设直线l：Ax+By+C=0,椭圆C：+=1，联立l与C,消去某一变量（x或y）得到关于另一个变量的一元二a2b2次方程，此一元二次方程的判别式为厶，则l与C相离的O△<0；；与C相切O△=0；；与C相交于不同两点O△>0.3•序计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P1（x1，y1），P2（x2，与系数关系(推导过程：若点A(x,y)，B(x,y)在直线y=kx+b(k丰0)上,1122则y1=竹+b，y2=kx2+b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一,\AB\=J(x—x)2+(y一y)2=(x一x)2+(kx一kx)2=(1+k2)(x一x)21212121212=QQ+k2)[(x+x)2一4xx]—，直线与椭圆的位置关系例题、判断直线kx-y+3=0与椭圆乂+21=1的位置关系164厂y=kx+3角解由0即k>5x2y24时，直线kx一y*3二0与椭圆花+=1相交2)当A=16(16k2-5)=0即k=：5x2时，直线kx-y+3二0与椭圆=1相切3)当A=16(16k2—5)<0即—上50即m>5k2+1>1—+—=1、5m解法二：直线恒过一定点(0,1)当m<5时，椭圆焦点在x轴上，短半轴长b=pm，要使直线与椭圆恒有交点则、：m>1即15时，椭圆焦点在y轴上，长半轴长a=€5可保证直线与椭圆恒有交点即m>5综述：m>1且m丰5解法三：直线恒过一定点(0,1)要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点(0,1)在椭圆内部(5+12<1即m>15mm>1且m丰5［评述］由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交oA〉0(2)直线与椭圆相切oA=0(3)直线与椭圆相离oA<0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。或者可首先判断直线是否过定点，并且初定定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断：如例2中法二是根据两曲线的特征观察所至；法x2y2三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：点M(x,y)在椭圆内部或在椭圆上则一+一<1ooa2b2、弦长问题例'已知椭圆苓+苹=1的左右焦点分别为，若过点(，)及的直线交椭圆于两点，求/的面积解法一：由题可知：直线l方程为2x+y+2=0AB业精于勤荒于嬉；行成于思毁于随3y—一2x一2由\x2y2[可得9y2+4y一4—0,14、：10y1-打匕(y1+y2)2一4y1y2—丁一|_10j2-x2=~9~・•・［评述］在利用弦长公式|AB|=v;1+k2-y2k为直线斜率）或焦（左）半径公式AB|—X.1|—*'(1+k2)[(x+x)2一4xx].因为a—6,b—3,所以c—3*3.因为焦点在x轴上,由直线方程与椭圆方程联立得：13x2+72.3x+36x8—0x2为方程两根,所以x+x--竿,1213xx1236x813从而|AB—、1+k,.48r,,(1+k2)[(x1+x2)2一4x1x2]—石二2F1F2忱一以二警4J5解法二：F2到直线AB的距离h-专y—一2x一2由
