如何求递推数列的通项公式湖南祁东一中罗高峰数列的通项公式是数列知识中的核心问题，虽然书本中涉及了一些简单数列的通项公式的求法，但在习题和高考中还会碰到很多书本上没有，但学生又必须掌握的求通项公式的一些方法，现就学生在习题中经常碰到的一些问题谈谈求递推数列通项公式的一些常用方法。一、迭代法常用于形如的形式例1：an=an-12,(n≥2)，且a1=2，求an。解：an=an-12=…=2=22当n=1时，a1=2也满足an=22故an=22二、叠加法常用于形如an-an-1=f(n)的形式例2：在数例中，a1=1，an+1=an+2n-1，求an的表达式.解：由an+1=an+2n-1得：a2-a1=1，a3-a2=3，a4-a3=5，…，an-an-1=2n-3(n≥2)相加得：an-a1=1+3+5+…+(2n-3)=(n-1)2(n≥2)∴an=(n-1)2+a1=n2-2n+2(n≥2)又a1=1也满足上述公式∴an=n2-2n+2三、累乘法常用于an+1=anf(n)的形式例3：在数例中，a1=1，an+1=(n+1)an，求an.解：由an+1=(n+1)an，得∴，，…，(n≥2)将这n-1个式子累乘得(n≥2)∴an=n!(n≥2)又a1=1，∴an=n!1四、作商法已知a1a2……an=f(n)，求an常用作商法an=例4：已知数列的前n项积为Tn=，，求an.解：由已知得：a1·a2…an=5n①所以当n≥2时a1·a2…an-1=5(n-1)②得an=5n-(n-1)=52n-1(n≥2)当n=1时，a1=T1=5也满足an∴an=52n-1（）五、构造法（1）形如(k.b为常数)则可化成，从而是等比数列，其中x可以由待定系数法求出。例5：在数列中，，，求通项an。解：令即把该式与已知，∴数列，公比为的等比数列∴·∴（2）形如（k、b为常数）可用待定系数法化为公比为k的等比数列，再求，或根据具体情况构造等差数列求例6：已知数列，，且求.解：法一、由得：2∴是以为首项，2为公比的等比数列∴∴法二、由得：∴为首项，为公差的等差数列∴∴（3）数列满足，，，则可化为，其中x、y可用待定系数法求得，从而构成等比数列。例7：已知数列满足，，求数列的通项公式.解：令即把上式与即令是以为首项，为公比的等比数列。3即是以为首项，2为公差的等差数列。即（4）对可化为令，从而上式变成的形式。六、前n项和公式法就是利用求通项公式的方法，这里应当注意检验n=1是否符合n≥2时的形式。例8：数列的前n项和为Sn，Sn=2an-1,求an.解：∴∴由4
