《数学归纳法》VIP专享VIP免费

2.3数学归纳法法国数学家费马观察到：于是他用归纳推理提出猜想：任何形如的数都是质数（费马猜想）122n1212122212321242都是质数，半个世纪之后，善于计算的欧拉发现，第5个费马数F5=不是质数,从而推翻了费马的猜想4294967297125267004176411234Nnaaannn114,3,2,1n数列{an},已知a1=1，前4项归纳，得出:通过对nan1猜想出:11a414a313a212a但是怎么证明这就是所要的通项公式呢？（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定能导致后一块倒下。“多米诺骨牌”效应所要具备的条件：（1）第一块骨牌倒下；数学归纳法的概念：证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,(2)假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。验证n=n0时命题成立若当n=k(kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立命题对从n0开始的所有正整数n都成立。例1：用数学归纳法证明与自然数n有关的等式的证明1212121751531311nnnn证明：(1)n=1时，左边=311那么,(2)假设n=k（kN*)∈时等式成立，即右边=1121等式成立。1212121751531311kkkk3212112121751531311kkkk3212112kkkk321kk即当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N*都成立。练习：用数学归纳法证明Nnnnnn121613212222学后反思用数学归纳法证题时两个步骤缺一不可，证当n=k+1时命题成立，必须要用当n=k时成立的结论，否则，就不是数学归纳法证明.例2、用数学归纳法证明不等式1115...1236nnn(n≥2,nN*).∈证明（1）当n=2时，左边=,不等式成立.（2）假设当n=k(k≥2,k∈N*)时不等式成立，即成立,则当n=k+1时,所以当n=k+1时不等式也成立.由（1）（2）可知原不等式对一切n≥2，n∈N*都成立.111157534566061115...1236kkk111111...111233132331111111...123313233151111511536313233163316kkkkkkkkkkkkkkkkkkk练习求证：(n∈N*).111...11231nnn例3.数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明42n+1+3n+2能被13整除，其中n为正整数.【证明】(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除.(2)假设当n=k(k∈N*)时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，方法一：42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)，∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除.∴42(k+1)+1+3k+3能被13整除.方法二：［42(k+1)+1+3k+3］-3(42k+1+3k+2)=(42k+1·42+3k+2·3)-3(42k+1+3k+2)=42k+1·13,∵42k+1·13能被13整除，∴［42(k+1)+1+3k+3］-3(42k+1+3k+2)能被13整除，即42(k+1)+1+3k+3能被13整除,∴当n=k+1时，命题也成立,由(1)、(2)知，对任意n∈N*，42n+1+3n+2都能被13整除.练习：已知某个命题与正整数有关,如果当n=k(k∈N*)时该命题成立,那么可以推得n=k+1时该命题也成立.现已知n=5时该命题不成立,则()A.n=4时该命题成立B.n=6时该命题不成立C.n=4时该命题不成立D.n=6时该命题成立判断下列各说法是否正确.(“√”“请在括号中填写或×”)(1)用数学归纳法验证第一个值n0,则n0必定为1.()(2)数学归纳法的两个步骤是缺一不可的.()(3)应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时，第一步是检验n等于3.()(4)“用数学归纳法证明1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”时，验证n=1时,左边式子应为1+2+22.()1n(n3)2练习：已知(n∈N*).用数学归纳法证明时，=.1111...23fnn22nnf122kkff用数学归纳法证明等式:(n∈N*),则从n=k到n=k+1时,求左边应添加的项.422123...2nnn2°假设n=k（k≥n0）时命题成立，证明n=k+1时命题成立，课堂小结：（1）数学归纳法只适用于证明与正整数有关的命题.（2）用数学归纳法证明命题的一般步骤：1°验证n=n0（n0为命题允许的最小正整数）时，命题成立由1°和2°对任意的n≥n0,n∈N*命题成立