ACBDEEab研究性学习案例之一：数形结合显奇效，一条“高线”通南北在《解三角形》教与学双边活动中，证明正弦定理从直角三角形推广到一般三角形中要作一条“高线”来等量过渡，强调构建直角三角形的方法的重要性。张泽同学对此高线的作用进行了研究，并结合习题应用，得到很大的收获。一、（《考试指南报》第一期提高卷第3题）在△ABC中，，且，求tanB。解：由，得A=60°。作△ABC，作CD⊥AB于D。则∠ACD=30°，AD=，CD=。再由，得BD=。在Rt△BCD中，tanB==。评注：张泽提供的这种数形结合解法，直观快捷效果好！他对此类题型特征（已知一角特殊，并知另两边之比）进一步研究，并应用于下列类似习题，更是别开生面。请看以下解答：二、自编《正弦定理、余弦定理练习》第10题在△ABC中，A=60°，且，求⑴，⑵。解：⑴=得⑵作△ABC，过C作CD⊥AB于D。则∠ACD=30°，AD=，CD=。再由，得BD=。在Rt△BCD中，tanB==。在△ABC中，过B作CD⊥AB于D。则∠ABE=30°，BE=，AE=，这表明E落在AC延长线上，CE=。在Rt△BCE中，tan∠BCE===，tanC=。∴==根据张泽同学的思路，老师也发现还有一道习题也可用此法方便求解，请看：三、自编《正弦定理、余弦定理练习》第9题在△ABC中，，且，求C。解：由得B=60°。作△ABC，作AD⊥BC于D。则∠BAC=30°，BD=，AD=。再由，得CD=。在Rt△ACD中，tanC==。又C为三角形内角，∴C=45°。反思总结：这类题型的共同特征是什么：知道一个特殊角及另两边的比值。利用直角三角形中锐角三角函数定义，作高线，把这个角放在直角三角形内，并且考虑已知两边的比的应用，从而转换则可求另一（两）角的正切。这种方法充分利用作高线构造直角三角形的这一基本技巧，彰显了数形结合的这一数学思想方法。（长阳一中，江春明2014年11月27日星期四）ABCDBcCDA
