专题四相似三角形的判定与性质教材母题(教材P44第13题)如图，△ABC中，CD是边AB边上的高，且ADCD＝CDBD，求∠ACB的大小．解：CDAB∵⊥，∴∠CDA＝C∠DB＝90°，又∵ADCD＝CDBD，∴△ACD∽△CBD，∴∠A＝BCD∠，又∵∠A＋∠ACD＝90°，∴∠ACD＋BCD∠＝90°，即ACB∠＝90°【规律与方法】利用条件证出相似三角形或通过作辅助线构造相似三角形，进而利用相似三角形对应角相等和对应边的比相等来进行边和角的计算．变式1.如图，▱ABCD中，E为AD的三等分点，AE＝23AD，连接BE，交AC于点F，AC＝12，则AF为()A．4B．4.8C．5.2D．6B变式2.如图，已知∠1＝∠2＝∠3，则下列表达式正确的是()A.ABAD＝DEBCB.ACAE＝ADABC.ABAC＝ADAED.BCDE＝AEAC变式4.(2014·南京)如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是(－2，1)，点C的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是()A．(32，3)，(－23，4)B．(32，3)，(－12，4)C．(74，72)，(－23，4)D．(74，72)，(－12，4)点拨：如图过点A，B作ADx⊥轴，BE⊥x轴，过点C作CFy∥轴，过点A作CFx∥轴，两直线相交于点F，易证ADOAFC△∽△，AFAD＝CEDO，AF＝32，∴C(－12，4)，易证BOECAF△△≌，∴B(32，3)．变式3.(2013·日照)如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC，AB于D，E两点，连接BD，DE.若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是()A．BD⊥ACB．AC2＝2AB·AEC．△ADE是等腰三角形D．BC＝2ADCDB变式5.(2014·滨州)如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则ADAB＝__.变式6.(2014·泰州)如图，A，B，C，D依次为一直线上4个点，BC＝2，△BCE为等边三角形，⊙O过A，D，E三点，且∠AOD＝120°.设AB＝x，CD＝y，则y与x的函数关系式为__．点拨：易证ABEECD△∽△，ABEC＝BECD，即x2＝2y，y＝4x(x＞0)．22y＝4x(x＞0)变式7.△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2＝BD·DC，则∠BCA的度数为_65°或115°_.点拨：①如图，易知ABDCAD△∽△，∴∠CAD＝∠B＝25°，∠BCA＝90°＋25°＝115°.②如图，易知ABDCAD△∽△，∴∠CAD＝∠B＝25°，∠BCA＝90°－25°＝65°.变式8.(2014·岳阳)如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260cm，AB＝130cm，球目前在E点位置，AE＝60cm.如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．(1)求证：△BEF∽△CDF；(2)求CF的长．解：(1)由题意可知B∠＝C∠＝90°，∠EFG＝GFD∠，∵GF⊥BC，∴∠BFG＝CFG∠＝90°，∴∠EFB＝DFC∠，∴△BEF∽△CDF.(2)设CF的长为xcm，则BF＝260－x，由BEFCDF△∽△，知BECD＝BEFC，∴130－60130＝260－xx，解得x＝169，所以CF的长为169cm.变式9.(2014·资阳)如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E，连接AD.(1)求证：△CDE∽△CAD；(2)若AB＝2，AC＝22，求AE的长．解：(1)AC∵为O⊙的切线，∠DAE＋BAD∠＝90°，又AB∵为O⊙的直径，∴∠ABD＋BAD∠＝90°，∴∠DAE＝ABD∠，又OB∵＝OD，∴∠ABD＝BDO∠，又BDO∵∠＝CDE∠，∴∠CDE＝DAE∠，又C∵∠＝C∠，∴△CDE∽△CAD.(2)AB∵＝2，∴OD＝OA＝1，在Rt△OAC中，OC＝12＋（22）2＝3，∴DC＝OC－OD＝3－1＝2，由(1)知CDECAD△∽△，∴DC2＝CE·AC，∴CE＝422＝2，∴AE＝AC－CE＝22－2＝2变式10.如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A出发沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动(有一点到达后即停止移动)，如果P，Q同时出发，经过几秒后△BPQ与△ABC相似？解：设经过t秒后BPQ△与ABC△相似．B∵∠为公共角，∴要使BPQ△与ABC△相似，只需BPBC＝BQBA或BPBA＝BQBC.即8－2t16＝4t8或8－2t8＝4t16，解得t＝0.8或t＝2(均小于4)．即经过0.8秒或2秒后，△BPQ与ABC△相似变式11.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为BC边上一点(不与B，C重合)，过点P作∠APE＝∠B，PE交CD于点E.(1)求证：△APB∽△PEC；(2)若CE＝3，求BP的长解：(1)证明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB＝DC，∴∠B＝C∠＝60°，∵∠APC＝B∠＋BAP∠，即APE∠＋EPC∠＝B∠＋BAP∠，又∠APE＝B∠，∴∠BAP＝EPC∠，∴△APB∽△PEC(2)解：如图，过点A作AFCD∥，交BC于点F，则四边形ADCF为平行四边形，△ABF为等边三角形，∴CF＝AD＝3，AB＝BF＝7－3＝4，∵△APB∽△PEC，∴BPEC＝ABPC，设BP＝x，则PC＝7－x，又EC∵＝3，AB＝4，∴x3＝47－x，整理，得x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4，经检验，x1＝3，x2＝4是所列方程的根，∴BP的长为3或4
