一．课题：抛物线及其标准方程（2）二．教学目标：1.会用定义法、直译法、参数法，求与抛物线有关的动点的轨迹方程；2.会判断直线与抛物线的位置关系；3.会求解与抛物线的焦点弦有关的问题.三．教学重、难点：目标1，2，3。四．教学过程：（一）复习：1．抛物线的定义及其标准方程2．练习：①抛物线24(0)ypxp的焦点坐标是1(0,)16p．②抛物线212yx上与焦点的距离等于9的点的坐标是(6,62)．③抛物线22(0)ypxp上一点M到焦点的距离是()2paa，则点M到准线的距离是a，点M的横坐标是2pa．④抛物线的准线方程是4x，顶点在坐标原点，则它的焦点坐标是(4,0)，标准方程是216yx．（二）新课讲解：例1．A、B是抛物线22(0)ypxp上的两点，满足OAOB（O为坐标原点）：（1）求证：A、B两点的横坐标之积为定值；（2）直线AB经过一定点；（3）求线段AB的中点的轨迹方程．解：（1）设OA所在直线方程为ykx，则OB所在直线方程为1yxk，设(,)AAAxy，(,)BBBxy．由方程组22ykxypx求得222(,)ppAkk，同理得2(2,2)Bpkpk．∴2222(2)4ABpxxpkpk（定值），且24AByyp（定值）．∴A、B两点的横坐标之积为定值.（2）由（1）知当1k时，AB直线所在斜率22222212ABppkkkKpkpkk，用心爱心专心∴AB所在直线方程：222(2)1kypkxpkk，即2(2)1kyxpk，显然直线AB经过一定点(2,0)p．当1k或者1k时，A点与B点的横坐标都是2p，直线AB方程为2xp，直线AB也经过一定点(2,0)p。（3）设线段AB的中点为(,)Mxy，则2222121(2)()2121(2)()2pxpkpkkkpypkpkkk，消去参数k得，222xypp，即所求线段AB的中点的轨迹方程是222ypxp．例2．斜率为1的直线经过抛物线24yx的焦点，与抛物线相交与两点A、B，求线段AB的长．解：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线的焦点坐标(1,0)F，所以AB直线方程为1yx．①将方程①代入抛物线方程24yx，得2(1)4xx．化简得2610xx．（法一）解这个方程，得1322x，2322x．将1x、2x的值代入方程①中，得1222y，2222y，即A、B的坐标分别是(322,222)、(322,222)．∴22||(42)(42)8AB．（法二）根据抛物线的定义，||AF等于点A到准线1x的距离即||AF11x，用心爱心专心xyoAB1A1BF同理2||1BFx，于是得12||||||2ABAFBFxx．由上已知，2610xx，故126xx．∴||628AB．说明：设11(,)Axy，22(,)Bxy，抛物线方程：22ypx，则焦点弦的计算公式：12||ABxxp．（法三）2222121212||1||1()426418ABkxxkxxxx．五．课堂练习：六．小结：1．抛物线的定义在解题中的应用；2．用坐标法求轨迹方程；3．求曲线的交点和弦长问题.七．作业：补充：1．已知直线l：(||1,0)ymxmmm，抛物线C：24yx，（1）求证：l与抛物线C必相交于两点；（2）求截得的弦AB的长；（3）当m为何值时，弦AB的中点在直线30xy上；2．过点(2,4)M作直线l与抛物线28yx只有一个公共点，求直线l的方程；3．已知AB是抛物线22(0)ypxp过焦点的弦，求：（1）弦长||AB；（2）弦长||AB的最小值.用心爱心专心
