分类记数原理与分步记数原理（2）【教学目标】1．进一步理解两个基本原理．2．会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题奎屯王新敞新疆【教学重点】两个基本原理的进一步理解和体会．【教学难点】正确判断是分类还是分步，分类计数原理的分类标准及其多样性．【教学过程】一、复习引入：1．分类计数原理：2．分步计数原理：3．原理浅释分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事．只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以．分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏．如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理．可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同．这种变形还提醒人们，分类和分步，常是在一定的限制之下人为的，因此，在这里我们大有用武之地：可以根据解题需要合理、灵活而巧妙地分类或分步．强调知识的综合是近年的一种可取的现象．两个原理，可以与物理中电路的串联、并联类比．两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数奎屯王新敞新疆两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”奎屯王新敞新疆二、范例分析：例1．在1～20共20个整数中取两个数相加，使其和为偶数的不同取法共有多少种?解：取与取是同一种取法．分类标准为两加数的奇偶性，第一类，偶偶相加，由分步计数原理得(10×9)/2=45种取法，第二类，奇奇相加，也有(10×9)/2=45种取法．根据分类计数原理共有45+45=90种不同取法．例2．在1～20共20个整数中取两个数相加，使其和大于20的不同取法共有多少种?解：分类标准一：固定小加数．小加数为1时，大加数只有20这1种取法;小加数为2时，大加数有19或20两种取法;小加数为3时，大加数为18，19或20共3种取法…小加数为10时，大加数为11，12，…，20共10种取法;小加数为11时，大加数有9种取法…小加数取19时，大加数有1种取法．由分类计数原理，得不同取法共有1+2+…+9+10+9+…+2+1=100种．分类标准二：固定和的值．有和为21，22，…，39这几类，依次有取法10，9，9，8，8，…，2，2，1，1种．由分类计数原理得不同取法共有10+9+9+…+2+2+1+1=100种．例3．用5种不同颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色．用心爱心专心115号编辑（1）共有多少种不同的涂色方法？（2）若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？分析：由于各号区域都涂色后这件事才算完成，因此完成这件事的首选方法是分步．（1）54=625．（2）方法一：分类：第1类：2号、4号区域同色，有5×4×3=60种；第2类：2号、4号区域异色：有5×4×3×2=120种．共60+120=180种涂法．方法二：分步：先涂1号区域有5种涂法，再涂3号区域有4种，2号、4号区域各有3种，共有5×4×3×3=180种．类题：如图一，要给①，②，③，④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同涂色方法种数为()A．180B．160C．96D．60奎屯王新敞新疆若变为图二？(240种)图三呢?（5×4×4×4=320种)例4．如下图，共有多少个不同的三角形?解：所有不同的三角形可分为三类”第一类：其中有两条边是原五边形的边，这样的三角形共有5个第二类：其中有且只有一条边是原五边形的边，这样的三角形共有5×4=20个第三类：没有一条边是原五边形的边，即由五条对角线围成的三角形，共有5+5=10个由分类计数原理得，不同的三角形共有5+20+10=35个．例5．75600有多少个正约数?有多少个奇约数?解：75600的约数就是能整除75600的整数，所以本题就是分别求能整除75600的整数和奇约数...
