第四章几个初等函数的性质一、基础知识1．指数函数及其性质：形如y=ax(a>0,a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞），当00,a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R，图象过定点（1，0）
当00,N>0）；1）ax=Mx=logaM(a>0,a1)；2）loga(MN)=logaM+logaN；3）loga（）=logaM-logaN；4）logaMn=nlogaM；，5）loga=logaM；6）alogaM=M;7)logab=(a,b,c>0,a,c1)
函数y=x+（a>0）的单调递增区间是和，单调递减区间为和
（请读者自己用定义证明）6．连续函数的性质：若a0且f(1)>0（因为-10，所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0
例2（柯西不等式）若a1,a2,…,an是不全为0的实数，b1,b2,…,bn∈R，则（）·（）≥()2，等号当且仅当存在R，使ai=,i=1,2,…,n时成立
【证明】令f(x)=（）x2-2()x+=,因为>0，且对任意x∈R,f(x)≥0，用心爱心专心1所以△=4()-4（）()≤0
展开得（）()≥()2
等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在，使ai=,i=1,2,…,n
例3设x,y∈R+,x+y=c,c为常数且c∈(0,2]，求u=的最小值
【解】u==xy+≥xy++2·=xy++2
令xy=t，则00，所以y=2,x=4
所以方程组的解为
例9已知a>0,a1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围
【解】由对数性质知，原方程的解x应满足
①②③若①、②同时成立，则③必成立，故只需解
由①可得2kx=a(1+k2)，④当k=0时，④无解；当k0时，④的解是x=，代入②得>k
若k1，所以k0，则k2
