对函数的进一步认识一、教学目标1．在复习初中函数定义的基础上，理解函数的集合对应定义，会求简单的定义域和值域，会用集合、区间或不等式表示它们；会用三种表示方法表示常用的函数，包括会求一些常用的函数式；理解函数符号的意义，并会求某些自变量的值和函数值；理解函数与映射的区别和联系．2．培养对应、联系和严谨意识及一定的处理问题能力.二、设计思路函数定义从集合、对应（映射）出发，而且突出了“对应关系”，指出：“把对应关系f叫作定义在A上的函数”．但是，为了与初中的概念一致，又补充到：习惯上我们称y是x的函数．谈函数，必须交代定义域．但是，对定义域和值域不作过多技巧要求和训练．教科书中，也尽量避免出现那样的题目．从贴近学生实际出发，引用了学生熟悉的初中物理中的结论作为函数的例子．三个例子分别用解析法、列表法和图像法给出，意在呼应下一节的三种表示法．函数的三种表示法这一节也尽量从学生熟悉的例子引入，而且特别突出了分段函数，并明确给出了分段函数的概念．在函数与映射的处理上，我们是先给出了函数概念，再给出映射概念．函数的对象只是数集，而一般映射的对象可以是任意集合，已不只是数集．显然，这里的处理是先特殊再一般，其目的是考虑与初中知识衔接，同时更符合学生的认知规律．映射中的几个例子安排，采用了由近及远的手法，先从学生身边说起，再到国家，最后是抽象的数，乃至下面抽象的字母．值得注意的还有，在“映射”这一节的最后，揭示了通常人们把映射数字化的用意其实，起初人们遇到的都是具体的量，只是在人们找到单位，并用单位度量所给量的时候，才实现了量的实数化，才能使用函数．度量，实数化，看似平常，却反映了人们在探索和发明中的聪明才智．三、教学建议1．教学中，要轻其所轻、重其所重．如，要让学生明确定义域和值域的意义和求法，但是，对于定义域和值域的技巧，则不要过分追求．对函数值，也只要求知道f(a)的意义，并会求常见的函数值即可．分段函数，虽然没有列专节，但是，它的解析法、列表法、图像法表示都不可忽视．区间是重要概念，要让学生能正确写出区间．2．引导学生认识和学习抽象的方法，如，从众多现实问题中抽象出本质属性，从而得到函数定义、分段函数定义、映射定义、定义域和值域的定义等．3．本节中的例题，意在努力与学生熟悉的其他学科相结合．教学中，教师可以根据本地区学生的实际，自己选编类似的例子．4．教学中应该时时处处注意为学生留白，即注意组织学生的活动．如，关于映射的“思考交流”，应该尽量发动学生自己总结出映射的特点以及映射与函数的用心爱心专心异同．5．反思水平的高下常反映一个人的思维水平．教学中要注意引导学生反思，如，学过了哪些知识，哪些思想方法对自己颇有启发，所学知识能否拓展等．6．信息技术应用．如教科书所说，在研究函数的过程中，信息技术起着重要作用．有条件的学校应该充分发挥信息技术的威力．如，求函数值的问题、图像问题等7．教学中，下要保底，保基本内容，同时，又不封顶，告诉学生数学在不断抽象、不断发展，引发学生求知．有条件的学校，可以发动学生进行数学活动，让学生自己或小组选择（或教师指定）一个课题，如“函数与映射”“函数的发展”“函数的分类”，由学生独立查阅资料、请教访问，经过自己的收集、测算、整理、分析，丰富、补充阅读材料，发挥自己的想像与创造，得出结论，并在同学中展示．四、课程资源参考1．函数概念的发展人类对量的认识是从常量、等量开始的，但是，事物是变化的，是在等与不等的对立统一中发展的，而函数就反映了人们认识的一次重大进步：研究两个量依赖中的变化、研究它们的等与不等．所以，函数是人类认识的一次飞跃，成为人类认识世界改造世界的重要工具．自1637年笛卡儿的几何学问世起，数学中虽然还没有变量一词但已有了变量的概念．直到17世纪，尽管人们已经研究过一些具体函数，但数学家们还是没有给出函数的一般定义．莱布尼茨在1673年首先使用了“function”表示随曲线上的点变动而变动的量，如，切线、法线、纵坐标等．贝努利曾说，函数就是由变量和常量以任何方式组成的量...
