2．1.1等式的性质与方程的解集考点学习目标核心素养等式的性质掌握等式的性质，会用十字相乘法分解因式数学运算方程的解集会利用等式的性质解一元一次方程，会用因式分解法解一元二次方程数学运算问题导学预习教材P43－P46的内容，思考以下问题：1．等式的性质有哪些？2．恒等式的概念是什么？3．十字相乘法的内容是什么？4．方程的解集的概念是什么？1．等式的性质(1)等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式，等式仍成立；(2)等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．[注意]等式性质成立的条件，特别是性质(2)中的“不为零”．2．恒等式一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．3．方程的解集一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a＝b，则a－c＝b－c.()(2)若a＝b，则＝.()(3)若＝，则a＝b.()(4)x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)．()(5)x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)．()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√下列各式由左边到右边的变形为因式分解的是()A．a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1B．m2－4m＋4＝(m－2)2C．(x＋3)(x－3)＝x2－9D．t2＋3t－16＝(t＋4)(t－4)＋3t答案：B已知x2＋kxy＋64y2是一个完全式，则k的值是()A．8B．±8C．16D．±16答案：D方程－＝的解集为________．解析：由－＝，得2(2x＋1)－3(3x＋4)＝3，即－5x－10＝3，所以x＝－.所以方程的解集为.答案：方程x2＋2x－15＝0的解集为________．解析：x2＋2x－15＝(x－3)(x＋5)＝0，所以x＝3或x＝－5.所以方程的解集为{3，－5}．答案：{3，－5}利用十字相乘法分解单变量多项式角度一x2＋(p＋q)x＋pq型式子的因式分解分解因式：(1)x2－3x＋2；(2)x2＋4x－12.【解】(1)如图，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图中的两个x用1来表示(如图)．(2)由图，得所以x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6).x2＋(p＋q)x＋pq此类二次三项式的特点是：(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．其分解因式为：x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)．角度二ax2＋bx＋c型式子的因式分解分解因式：(1)6x2＋5x＋1；(2)6x2＋11x－7；(3)42x2－33x＋6；(4)2x4－5x2＋3.【解】(1)由图，得所以6x2＋5x＋1＝(2x＋1)(3x＋1)．(2)由图，得所以6x2＋11x－7＝(2x－1)(3x＋7)．(3)由图，得所以42x2－33x＋6＝(6x－3)(7x－2)．(4)由图，得所以2x4－5x2＋3＝(x2－1)(2x2－3)＝2(x＋1)(x－1).对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1×a2，常数项c分解成c1×c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上图中上一行，a2，c2位于下一行．把下列各式分解因式：(1)x2－3x＋2＝________；(2)x2＋37x＋36＝________；(3)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝________；(4)4m2－12m＋9＝________.解析：(1)x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．(2)x2＋37x＋36＝(x＋1)(x＋36)．(3)(a－b)2＋11(a－b)＋28＝[(a－b)＋4][(a－b)＋7]＝(a－b＋4)(a－b＋7)．(4)4m2－12m＋9＝(2m－3)2.答案：(1)(x－1)(x－2)(2)(x＋1)(x＋36)(3)(a－b＋4)(a－b＋7)(4)(2m－3)2利用十字相乘法分解双变量多项式角度一x2＋(p＋q)xy＋pqy2型式子的因式分解把下列各式因式分解：(1)a2－2ab－8b2；(2)x＋5－6y(x>0，y>0)；(3)(x＋y)2－z(x＋y)－6z2；(4)m4＋m2n2－6n4.【解】(1)(a＋2b)(a－4b)；(2)(＋6)(－)；(3)(x＋y＋2z)(x＋y－3z)；(4)(m＋n)(m－n)(m2＋3n2)．x2＋(p＋q)xy＋pqy2这类二次齐次式的特点是：(1)x2的系数为1；(2)y2的系数为两个数的积(pq)；(3)xy的系数为这两个数之和(p＋q)．x2＋(p＋q)xy＋pqy2＝x2＋pxy＋qxy＋pqy2＝x(x＋py)＋qy(x＋py)＝(x＋py)(x＋qy)．角度二ax2＋bxy＋cy2型式子的因式...
